1.2. Пространство сигналов

При математическом описании сигналы удобно рассматривать как точки или векторы в некотором функциональном пространстве — пространстве сигналов, преобразования сигналов рассматривать как отображения в этом пространстве, а свойства сигналов — как свойства пространства. Слово «пространство» используется здесь, чтобы придать множеству сигналов геометрический смысл и тем самым наглядность.

Наиболее простой и в то же время физически достаточно содержательной является трактовка сигналов как элементов нормированного линейного метрического пространства.

Метрическим называется пространство, в котором определено расстояние между элементами пространства (метрика), т. е. каждой паре элементов, скажем может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число и способ, в соответствии с которым находится это число, удовлетворяет следующим правилам:

Смысл первых двух условий очевиден. Третье условие, которое называется «правилом треугольника», является формальным выражением следующего естественного требования к метрике: если две точки близки к третьей, то они должны быть близки и между собой.

В табл. 1.1 приведены метрики, наиболее часто используемые в функциональном анализе и анализе сигналов.

Таблица 1.1. Примеры метрик

Метрика и ее непрерывный аналог — метрика , а также их обобщения на случай называются евклидовыми, так как совпадает с евклидовой метрикой реального физического пространства.

В теории сигналов понятие «расстояние» используется для трактовки отличия одного сигнала от другого, или ошибки представления одного сигнала другим. Поэтому для характеристики пространства сигналов должна выбираться такая метрика, которая наиболее полно может описать это отличие одним числом — расстоянием.

Можно привести по меньшей мере два примера, когда метрика выбирается однозначно. Первый — когда отличия сигналов одного от другого возникают в результате действия на них аддитивного

некоррелированного гауссова шума. Рассмотрим для простоты случай различения двух дискретных сигналов:

где — отсчеты, являющиеся независимыми случайными числами с нормальной плотностью вероятностей

и дисперсией Очевидно, все различия между сигналами заключены в сигнале , а он может быть полностью статистически описан своей многомерной плотностью вероятностей

которая, в свою очередь, полностью определяется величиной

— евклидовым расстоянием между Так порождается евклидова метрика.

Евклидова метрика очень популярна в теории сигналов по двум причинам. Во-первых, она очень удобна расчетах, имеет определенный физический смысл (она пропорциональна энергии разности двух сигналов). Во-вторых, она в точности адекватна задачам, где отличия между сигналами порождаются суммарным действием большого числа помех или ошибок измерения.

Евклидову метрику часто называют также среднеквадратичной, ибо она дает квадрат разности сигналов, усредненный по области их определения. В этом смысле ее обобщением является взвешенная среднеквадратичная метрика, определяемая для дискретного случая как

где — набор весовых констант. Такая метрика потребовалась бы, например, если бы в (1.5) мы предположили, что имеют разные значения дисперсии

Рассмотрим теперь другой пример — пространство цифровых бинарных сигналов, отсчеты которых принимают только два значения

и которые перехода один в другой в результате итерирований значений случайно выбранных отсчетов. Пусть два таких сигнала. Тогда все различия между ними можно описать бинарным сигналом и сложением отсчетов по модулю 2:

По условию сигнал является случайным и его отсчеты с некоторой вероятностью принимают значения 1 или 0. Если эти отсчеты независимы, то сигнал полностью статистически описывается тем, сколько его отсчетов имеют значения 1, т. е. количеством несовпадающих отсчетов равным

Так возникает метрика, называемая хемминговой.

Линейным или векторным называется пространство сигналов, если оно удовлетворяет следующим условиям.

1. Для любых двух его элементов однозначно определен принадлежащий ему третий элемент называемый их суммой и обозначаемый причем операция суммирования подчиняется законам коммутативности

и ассоциативности

2. Существует такой элемент 0, что

для всех элементов пространства.

3. Каждому элементу а пространства можно поставить в соответствие противоположный ему элемент —а такой, что

4. Для любого числа а и любого элемента пространства а определен принадлежащий этому пространству элемент причем так, что

Элементы линейного пространства называют векторами. Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией:

Множество векторов называется линейно-независимым, если при отличным от нуля,

Следовательно, линейно-независимое множество таково, что ни один из его векторов не может быть представлен в виде линейной комбинации других.

Пространство составленное из линейных комбинаций линейно-независимых векторов называется N-мер-ным пространством. Множество линейно-независимых векторов называется дискретным базисом этого пространства; говорят, что натянуто на этом базисе. Любое множество N линейно-независимых векторов в может служить его базисом.

Каждый вектор в пространстве соответствует единственной линейной комбинации векторов -единственному множеству скалярных коэффициентов Набор (упорядоченный) скалярных коэффициентов разложения данного вектора по данному базису является представлением вектора по отношению к данному базису.

Понятие линейного пространства математически описывает физический принцип суперпозиции. Поэтому пространству сигналов свойство линейности приписывают тогда, когда для сигналов как физических объектов выполняется принцип суперпозиции.

Нормированным линейным пространством называется линейное пространство, в котором определена норма вектора, удовлетворяющая следующим условиям:

Геометрический аналог нормы вектора — его длина. Поскольку норма удовлетворяет условиям (1.19), ее можно использовать в качестве метрики:

В этом случае

Таким образом, если метрика пространства порождена его нормой в соответствии с (1.20), то норма показывает, насколько вектор отличается или далеко отстоит от нулевого вектора.

В линейном пространстве отождествление нормы и метрики естественно ввиду наличия нулевого вектора.

Используя пространство сигналов для описания так называемых линейных систем обработки, ему обычно приписывают еще одну геометрическую характеристику — скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение двух векторов — это число (вообще говоря, комплексное), способ вычисления которого обладает следующими свойствами:

(знак означает комплексно-сопряженную величину).

Чаще всего пользуются следующим определением скалярного произведения:

Понятия скалярного произведения и нормы векторов можно связать, определив норму как

Из свойств скалярного произведения (1.22) вытекает, что такое определение нормы удовлетворяет требованиям нормы (1.19).

Как сказано выше, норма, в свою очередь, может порождать метрику. Таким образом, пространство со скалярным произведением можно сделать нормированным метрическим. Такое пространство называется евклидовым (при конечном числе измерений или гильбертовым (при бесконечном

Важным понятием в евклидовом и гильбертовом пространствах является ортогональность векторов. Два вектора ортогональны, если

Если векторы взаимно ортогональны, то они линейно-независимы. Поэтому ортогональные векторы можно использовать как базисы линейных пространств.

В пространстве, в котором определено скалярное произведение, можно установить простое соотношение между сигналом и его представлением.

Пусть -мерное пространство, натянутое на базис т. е. состоящее из векторов вида

а — векторы, попарно ортогональные к и нормированные так, что

Функция называется символом (функцией) Кронекера.

Тогда

Формула (1.28) является правилом вычисления коэффициентов представления (1.26). Базис удовлетворяющий (1.27), называется взаимным к Очевидно, что

для любой пары взаимных базисов в пространстве

Если базис содержит нормированные попарно ортогональные векторы, т. е. взамен самому себе

его называют ортонормальным. В этом базисе

Зная представление векторов по ортонормальному базису, легко вычислить их норму

и скалярное произведение

Представления пары сигналов по двум ортонормальным базисам связаны между собой соотношением

называемым равенством Парсеваля [59].

Линейное представление сигналов как элементов линейного метрического пространства, натянутого на конечно-мерный базис, удобно потому, что позволяет описать любой сигнал набором некоторых стандартных базисных функций и набором чисел. Выбор базиса определяется удобством нахождения представления сигналов и, конечно, существом задачи.