7.6. Геометрические преобразования изображений

Можно указать следующие классы задач, требующих геометрических преобразований изображений:

— составление фотокарт и фотомозаик по аэрофото- и космическим снимкам поверхности Земли и планет; нанесение на снимки координатных сеток;

— коррекция геометрических искажений, вносимых изображающими системами (объективами, системами телевизионной развертки и т. п.);

— сопоставление фотографий трехмерных объектов, снятых при разном положении фотографирующей аппаратуры;

— совмещение разных снимков одного и того же объекта, снятых в разных спектральных диапазонах или в разное время, для получения цветных изображений или выявления изменений.

Кроме того, геометрическое трансформирование изображений может входить как этап при коррекции аберраций изображающих систем, когда перед линейной фильтрацией снимок подвергают геометрическим преобразованиям, превращающим изображающую систему в пространственно-однородную, а после фильтрации производят обратное преобразование, восстанавливающее прежнюю систему координат [48, 50]

В принципе задача геометрических преобразований сводится к тому, чтобы по заданному изображению определить значение видеосигнала в каждой точке изображения в новых координатах . Заметим, что, поскольку речь идет об изображении на плоскости непрерывные объектов, закон преобразования координат задается обычно в непрерывном представлении. В зависимости от вида изображений и способа задания закона преобразования координат возможны два подхода к решению этой задачи.

1. Для каждого элемента исходного изображения с координатами находить его координаты в новой системе координат и присваивать значение видеосигнала в этом элементе элементу преобразованного изображения с координатами , где — шаг дискретизации изображений по координатам а квадратные скобки означают целую часть от заключенных в них величин.

2. Для каждого элемента преобразованного изображения с координатами находить его координаты в исходном изображении и присваивать этому элементу значение видеосигнала, равное . Поскольку при цифровой обработке исходное изображение задано только в точках отсчета величину нужно находить с помощью тех или иных способов интерполяции дискретного сигнала

Первый способ удобен в тех случаях, когда преобразуемое изображение слабо заполнено, т. е. содержит мало ненулевых элементов (например, состоит из линий, как в задаче нанесения координатной сетки). Если его использовать для преобразования обычных заполненных изображений, отличных от нуля в каждом элементе, то, во-первых, будет велика ошибка в передаче координат

за счет их округления при пересчете и, во-вторых, на преобразованном изображении наверняка останутся пустые (незаполненные) места, которые нужно будет заполнять интерполяцией. Поскольку они будут располагаться нерегулярно, то такая интерполяция может оказаться трудоемкой операцией.

Второй способ применяется для преобразования «заполненных» изображений. При этом иногда можно отказаться от интерполяции на исходном изображении и округлить преобразованные координаты. Это уменьшает точность, достижимую при измерениях координат объектов. на преобразованном изображении из-за деформаций формы объектов за счет округления. Но если искривление координат невелико, на такое искажение можно пойти, так как отказ от точной интерполяции значительно упрощает процедуру преобразований [30]. Для более точного преобразования может оказаться необходимым производить интерполяцию значений отсчетов исходного изображения.

Рис. 7.19.

Строгие рекомендации по правильной интерполяции дать затруднительно, ибо пока трудно описать связь между точностью преобразования координат и точностью последующих измерений с помощью преобразованного изображения. Поэтому ограничимся описанием двух практических способов интерполяции.

Билинейная интерполяция.

Это один из наиболее простых в вычислительном отношении способов интерполяции, являющийся двумерным аналогом одномерной кусочно-линейной интерполяции. Его принцип иллюстрируется рис. 7.19, где — заданные значения в четырех соседних отсчетах изображения; а — интерполированное значение в промежуточном отсчете в точке с координатами относительно первого отсчета. Расстояние между исходными отсчетами принято равным единице. Как видно из чертежа, а находится линейной интерполяцией между двумя величинами, найденными в свою очередь линейной интерполяцией между парами

отсчетов

Интерполяция с помощью ДПФ и СДПФ.

Этот способ интерполяции основан на свойствах ДПФ и СДПФ (см. § 3.6, 3.7) и рассмотрен в § 3.8. Он является дискретным аналогом оптимальной непрерывной интерполяции сигналов по теореме отсчетов (см. § 2.4) и потому, в принципе, лучше соответствует структуре изображений. Однако он сложнее в вычислительном отношении. На рис. 7.20, а в качестве примера показан результат интерполяции этим способом фрагмента панорамы Венеры с рис. 7.9, а. Чиело отсчетов на этом фрагменте в четыре раза (по каждому направлению) больше числа отсчетов на исходном изображении. Для сравнения на рис. 7.20, б показано то же изображение, интерполированное путем простого четырехкратного повторения каждого отсчета и строки исходного изображения рис. 7.9, а.

Операции по пересчету координат и интерполяции значений видеосигнала являются, вообще говоря, довольно громоздкими, и, если их проделывать для всех отсчетов изображения, это потребует больших затрат машинного времени. Для уменьшения этих затрат можно использовать методы сокращенного описания, которые могут превратить «заполненное» изображение в «слабо заполненное». Таковы, например, методы кодирования изображений, основанные на передаче контуров или явно выраженных перепадов сигнала на изображениях (см., например, [17, 33, 34]). Действительно, поскольку преобразования координат являются топологическими, достаточно выделить на изображении только некоторые опорные точки, по которым можно восстановить изображение с достаточной точностью, и подвергнуть преобразованию только их, а остальное изображение восстановить по этим опорным точкам.

Так, в [107] в качестве таких опорных точек были использованы контуры, возникающие при выделении в исходном изображении элементов, квантованное значение которых отличается от значения предыдущих по развертке элементов. Координаты выделенных элементов подвергаются преобразованию, а остальных — не преобразуются, а находятся посредством линейной интерполяции между опорными точками.

(кликните для просмотра скана)

Поскольку авторы [107] ограничились линейной интерполяцией, им пришлось позаботиться, чтобы выделенные элементы не находились слишком далеко друг от друга. При этом они руководствовались следующим правилом: кривая может быть заменена прямой в новой системе координат, если ее отклонение от прямой не превышает половины расстояния между элементами преобразованного изображения. Было выяснено, что для того типа проекции, который изучался (меркаторской), этому критерию в большинстве случаев удовлетворяли точки, отстоявшие друг от друга на расстояние от 6 до 16 элементов. Таким образом, оказалось возможным приблизительно на порядок снизить количество операций, необходимых непосредственно для вычисления преобразованных координат. Как показывает анализ задачи об измерении положения объектов на плоскости, приведенный в гл. 8, есть основания ожидать, что при точной передаче координат быстрых изменений сигнала и грубой — остальных элементов изображения достижимая точность измерений по преобразованному изображению не должна сильно пострадать.