3.5. Краевые эффекты при цифровой фильтрации

Вернемся к основной формуле (3.16) цифровой фильтрации в «пространственной» области:

Количество отсчетов в исходной последовательности входного сигнала всегда конечно. Пусть они нумеруются от 0 до . Тогда формула (3.51) определяет только отсчеты выходного сигнала с номерами от до Отсчеты с номерами от до и от до не определены, так как не определены значения исходной последовательности при Таким образом, длина последовательности при линейной цифровой фильтрации по (3.51) сокращается.

Но обычно неудобно, чтобы количество отсчетов выходного сигнала отличалось от количества отсчетов входного. Поэтому прибегают к тому или иному способу доопределения исходной последовательности. Существуют два подхода к такому доопределению. Первый можно назвать статистическим, второй — вычислительным.

Статистический подход состоит в том, что заданная последовательность входных отсчетов рассматривается как реализация некоторого случайного процесса и отсутствующие крайние члены этой последовательности определяются путем предсказания их значений по имеющимся членам. В простейшем случае отсутствующим членам приписывается значение, равное математическому ожиданию входного сигнала (например, нуль, если

входной сигнал имеет нулевое среднее). Лучшие в этом смысле результаты может дать замена отсутствующих отсчетов взвешенной суммой крайних заданных отсчетов. Частным случаем такого способа доопределения является приписывание незаданным отсчетам значений, равных значению ближайшего заданного.

Однако чаще для определения недостающих отсчетов исходят из соображений другого рода. Дело в том, что линейный фильтр, инвариантный к сдвигу, может быть реализован также с помощью операций над спектрами Фурье сигналов (см. § 3.8). При этом оказывается, что фильтрация в «спектральной» области эквивалентна фильтрации в «пространственной» области по формуле (3.51), если исходный сигнал считать периодически продолженным для значений индекса Возможно несколько способов периодического продолжения сигналов:

простое продолжение

два вида четного продолжения

Простое продолжение, которому соответствуют операции над спектрами, полученными с помощью дискретного преобразования Фурье (см. § 3.6), неестественно искажает структуру сигнала, так как делает в продолженном сигнале соседними отсчеты, расположенные на разных концах последовательности. Поэтому при цифровой фильтрации в пространственной и частотной областях пользуются четными способами доопределения последовательности.

Описанные способы доопределения конечной последовательности проиллюстрированы на рис. 3.3 (а — исходная последовательность; — дополнение нулями; в — периодическое продолжение; — четное продолжение по (3.53 а); — четное продолжение по

Рис. 3.3.

Двумерные сигналы доопределяются аналогично: простое продолжение

четные продолжений

(см. скан)

Наглядное представление об этих способах двумерного продолжения можно получить из рис. 3.4 (а — простое продолжение; — четное продолжение по (3.55 б)),