Глава 5. ЦИФРОВЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

5.1. Измерение гистограмм распределений

Простейшей и в то же время одной из важнейших статистических характеристик сигналов является распределение вероятностей их значений. Для цифровых сигналов можно говорить о частоте, с которой встречаются их отдельные значения. Эта частота как функция значений сигнала называется гистограммой распределения значений.

Гистограмма, описывающая частоту появления значений отдельных отсчетов сигнала независимо от значений других отсчетов, называется одномерной, или гистограммой одномерного распределения. Гистограмма, характеризующая частоту совместного появления значений нескольких отсчетов сигнала, называется многомерной, или гистограммой многомерного распределения.

Гистограмма распределения может быть построена с помощью простого алгоритма: на каждом шаге выборки отсчета измеряемого сигнала в ячейку памяти процессора с адресом

добавляется константа, например величина, обратная количеству анализируемых отсчетов. Здесь — начальный адрес массива гистограммы; — квантованное значение сигнала в измерении; максимальное количество уровней квантования сигнала в измерении; — размерность гистограммы и вектора значений измеряемого сигнала.

Математически эту процедуру можно описать как усреднение -функции Кронекера:

где -мерная гистограмма; квантованные значения отсчета, сигнала или

для двумерного сигнала

Это выражение можно рассматривать также как цифровую свертку (см. (3.16), (3.17)), а в двумерном случае — как разделимую двумерную свертку. Очевидно, для вычисления гистограммы необходимо выполнить N (в двумерном случае операций сложения.

Гистограмма может использоваться как характеристика не только всего наблюдаемого изображения, но и отдельных его участков или фрагментов. В этом случае она называется локальной.

В некоторых задачах обработки изображений оказывается необходимым производить измерение локальных гистограмм по перекрывающимся фрагментам изображения (см., например, § 7.3 о скользящей эквализации). В этих случаях целесообразно воспользоваться тем, что формула (5.3) может быть записана как рекурсивное соотношение между гистограммами соседних фрагментов. Действительно, если рассматривать (5.3) как выражение для локальной гистограммы фрагмента

где — шаги следования фрагментов по двум координатам, то оно может быть представлено через гистограмму, например, фрагмента:

Смысл этой формулы очевиден: гистограмма данного фрагмента может быть получена из гистограммы соседнего фрагмента, если прибавить к ней разность гистограмм, вычисленных по тем участкам данного и соседнего фрагментов, которые не принадлежат одновременно к обоим фрагментам.

Как и при рекуррентном вычислении ДПФ, конкретный способ использования возможности рекуррентного вычисления локальных гистограмм зависит от емкости ЗУ. Минимальная требуемая емкость буферного ЗУ, очевидно, равна ячеек памяти для одной гистограммы. В этом случае при рекуррентном вычислении гистограммы одного фрагмента с рекурсией по k (как в (5.5)) требуется выполнить плюс операций сложения — вычитания, где общее число фрагментов, т. е. приблизительно (при большом) в раз меньше, чем при прямом вычислении. Отметим, что в этом случае для уменьшения числа начальных фрагментов до одного целесообразно производить переход от фрагмента к фрагменту зигзагообразно: в направлении увеличения к для четных и в обратном направлении для нечетных

Гистограммы, измеренные по небольшим фрагментам изображений, обычно бывают довольно изрезанными функциями. При увеличении объема измерений гистограмма, как правило, сглаживается. Однако иногда необходимо получить сглаженную гистограмму при малом объеме измерений. Наиболее употребительны три метода сглаживания.

Ступенчатое сглаживание.

Диапазон значений аргумента гистограммы разбивается на небольшое число интервалов, и значения гистограммы внутри каждого интервала заменяются средним значением по интервалу. Такая сглаженная гистограмма может быть построена сразу, если значения сигнала перед измерением гистограммы проквантовать на небольшое число уровней (равное числу интервалов разбиения при сглаживании).

Сглаживание скользящим суммированием.

Значение сглаженной гистограммы получают из исходной гистограммы путем цифровой свертки ее с некоторой сглаживающей функцией

Простейшая и наиболее часто используемая сглаживающая функция — прямоугольное «окно»:

Ступенчатое сглаживание и сглаживание скользящим суммированием в принципе эквивалентны. Это легко понять, если заметить, что ступенчатое сглаживание дает функцию с соответственно меньшим количеством отсчетов, ввиду чего его можно трактовать как фильтрацию (как при скользящем суммировании) и дискретизацию.

Сглаживание с помощью ортогональных преобразований.

Вычисляются коэффициенты представления гистограммы по некоторому ортонормальному базису :

Часть коэффициентов те, которые имеют малые значения) заменяется нулями. Сглаженная гистограмма получается в результате обратного преобразования после отбраковки коэффициентов

Сглаженную таким образом гистограмму можно получить и сразу в процессе измерения, если воспользоваться

приемом, описанным в [64]. Он строится на следующих рассуждениях. Подставим в (5.8) выражение (5.2):

Это значит, что коэффициенты разложения по базису могут быть найдены усреднением по всем отсчетам сигнала значений базисных функций, вычисляемых каждый раз по значениям наблюдаемых отсчетов. Если в результате нужно иметь сглаженную гистограмму, то можно просто не вычислять значения для тех которым соответствуют коэффициенты, заменяемые нулями. Это дает экономию машинного времени и памяти.

Сглаживание с помощью ортогональных преобразований представляет особый интерес для многомерных распределений, если ступенчатое сглаживание нежелательно (скажем, потому, что дает разрывную, ступенчатую функцию). Тогда описанная процедура получения сглаженной гистограммы с. помощью усреднения базисных функций может дать значительную экономию, поскольку вместо ячеек памяти для накапливания гистограммы требуется лишь ячеек, где — количество ненулевых коэффициентов представления по координате.