6.5. Подавление аддитивного шума с помощью линейной фильтрации

Во многих случаях действие шума в изображающей системе можно описать как добавление к незашумленному видеосигналу независимого от него случайного сигнала — аддитивного шума. Задача восстановления изображения в этом случае состоит в получении из суммарного наблюдаемого сигнала

оценки сигнала как можно более близкой в смысле некоторой метрики, определяемой критерием верности воспроизведения изображений. Поскольку шум является случайным, эта оценка может быть наилучшей только в статистическом смысле.

Простейшим средством подавления аддитивного шума является линейная фильтрация зашумленного сигнала. Параметры требуемого фильтра обычно находят, пользуясь принципами теории оптимальной (винеровской) фильтрации, разработанной для среднеквадратичного критерия верности воспроизведения [6, 13, 18].

Рассмотрим метод выбора параметров фильтра для дискретного представления сигналов. Пусть - отсчеты базисных функций некоторого ортонормального базиса; коэффициенты представления последовательности отсчетов незашумленного видеосигнала шума и их смеси по этому базису; — коэффициенты дискретного представления линейного оператора, используемого для получения оценки сигнала (см. § 3.1):

Требуется найти такие коэффициенты чтобы в среднем по ансамблям шума и по восстанавливаемым

сигналам квадрат ошибки восстановления

был минимален. Черта сверху в этом выражении означает усреднение по ансамблю шума, суммирование по к дает усреднение квадрата ошибки по реализации сигнала, уголковые скобки — усреднение по ансамблю сигналов. Так как базис ортонормален, то по соотношению Парсеваля (1.34)

Подставив сюда из (6.12), получим

Оптимальные значения являются решением систем уравнений

т. е. следующих систем:

Если, как это обычно бывает, среднее значение шума равно нулю,

Поскольку системы уравнений (6.17) для равносильны, достаточно решить только одну из них. Подставив (6.18) в (6.17), получим следующую систему уравнений для

Она определяет обобщенный дискретный винеровский фильтр [113]. Для так называемого собственного базиса, когда

система (6.19) также вырождается и ее решением являются числа

Этот фильтр называют фильгром-маской, так как коэффициенты представления фильтрованного сигнала «8 находятся просто умножением коэффициентов зашумленного сигнала на или их «маскированием» последовательностью

Формула (6.21) является дискретным аналогом классической формулы винеровской фильтрации [6, 13, 18]:

где - частотная характеристика оптимального фильтра; и -спектральные плотности мощности (энергетические спектры) сигнала и шума. Такой фильтр оптимален для выделения стационарных гауссовых процессов из их смеси со стационарным гауссовым шумом. Собственный базис ансамбля дискретных сигналов который определяется (6.20), является, соответственно, дискретным аналогом ядра непрерывного преобразования Фурье — собственного для стационарных (в двумерном случае для пространственно-однородных) случайных процессов.

Матрица коэффициентов представления фильтра (6.21) является диагональной, и для его реализации по (6.22) требуется всего одна операция умножения на один коэффициент а не N, как в общем случае для фильтра (6.19). Поэтому он предпочтительнее фильтра (6.19). Действуя так же, как при выводе (6.19), нетрудно получить, что при произвольном базисе соотношение (6.21) определяет наилучший фильтр среди фильтров-масок, описываемых диагональными матрицами. Смысл этого соотношения прост: фильтр ослабляет спектральные компоненты фильтруемого сигнала тем больше, чем больше в среднем интенсивность присутствующего в этих компонентах шума по сравнению с интенсивностью сигнала.

Для определения матрицы коэффициентов оптимального линейного фильтра по (6.19) или (6.21) необходимо знать вторые моменты и хпхт сигналов и шума. В принципе эти данные относятся к так называемым априорным данным, которые должны быть заранее найдены с помощью статистических измерений для заданного класса сигналов и шума. Но на практике во многих случаях их приходится извлекать непосредственно из наблюдаемого «зашумленного» изображения или набора изображений, которые должны быть восстановлены фильтрацией. Фильтрация, основанная на таких эмпирически измеренных данных, называется эмпирической. Некоторые методы эмпирической оценки характеристик шума на изображении были рассмотрены в § 5.4.

Оптимальные в среднеквадратичном смысле винеровские линейные фильтры, как показывает практика, вообще говоря, далеки от фильтров, действительно оптимальных для подавления аддитивного шума на изображении. Например, использование фильтра типа (6.21) для подавления шума с равномерным энергетическим спектром в базисе комплексных экспоненциальных функций приводит к ослаблению верхних пространственных гармоник изображения, т. е. к его дефокусировке, так что качество изображения после винеровской фильтрации оценивается даже ниже, чем качество зашумленного изображения до фильтрации [38, 62]. Объясняется это, во-первых, тем, что вторые спектральные моменты сигнала и шума недостаточны для описания статистических отличий шума от сигналов, которые

мы относим к классу изображений, и, во-вторых, среднеквадратичный критерий плохо описывает мешающее действие шума. Кроме того, получение хороших статистических оценок самих величин и хпкт на основе эмпирических данных является непростой задачей. Поэтому в настоящее время продолжаются поиски адекватного статистического описания изображений и более совершенных методов фильтрации [38, 61].

Однако можно указать один практически важный случай восстановления изображений, когда способ фильтрации, вытекающий из (6.12) и (6.22), дает очень хорошие результаты. Это случай фильтрации сильно коррелированного аддитивного шума, в энергетическом спектре которого имеется только небольшое количество заметно отличных от нуля компонент, т. е. шума, реализации которого представляют собой комбинацию небольшого количества базисных функций со случайной интенсивностью. Примером таких помех могут служить периодические синусоидальные помехи, характерные для некоторых радиотехнических систем передачи изображений. Образец изображения с такими помехами показан на рис. 6.10.

Винеровский фильтр (6.21), построенный для подавления таких помех, будет пропускать без ослабления те спектральные компоненты видеосигнала, где интенсивность шума равна нулю, и значительно ослаблять те компоненты, на которых интенсивность шума велика. При большой интенсивности компонент шума по сравнению с соответствующими компонентами сигнала фильтр (6.21) хорошо аппроксимируется «ре-жекторным» фильтром, полностью подавляющим спектральные компоненты сигнала, искаженные интенсивным шумом:

Режекторный фильтр еще цроще в вычислительном отношении, чем фильтр (6.21).

В качестве базиса для синусоидальных периодических помех в принципе лучше всего базис комплексных экспоненциальных функций, в котором их спектральные компоненты наиболее локализованы. Для периодических

помех типа прямоугольных волн могут использоваться функции Уолша. Если помеху, являются существенно одномерными, как, например, на рис. 6.10, то и анализ помех, и фильтрация также могут быть одномерными.

Спектральный состав и интенсивность периодических помех обычно заранее неизвестны.

Рис. 6.10. (см. скан)

Поэтому прибегают к эмпирической фильтрации, первым этапом которой является оценка статистических параметров сигнала и шума. Для этого усреднением по всем наблюдаемым изображениям с однотипными периодическими помехами находят среднее значение квадрата модуля каждой спектральной компоненты зашумленного видеосигнала При одномерной фильтрации, скажем, вдоль строк изображений и усреднение может выполняться по всем строкам изображений, подлежащих фильтрации. Затем производится обнаружение локализованных

компонент шума. Возможность обнаружения основывается на предположении о том, что последовательность в среднем является «гладкой», т. е. ее элементы не должны значительно отличаться от ближайших к ним. Поэтому локализованные выбросы, сильно отличающиеся от своего окружения, могут быть квалифицированы как компоненты, искаженные помехой. Для обнаружения их можно использовать те же методы, что и при фильтрации импульсных помех (§ 6.4).

Для построения режекторного фильтра (6.24) достаточно обнаружения выбросов шума. Для построения фильтра-маски (6.21) необходимо еще оценить значения интенсивности спектральных компонент шума и сигнала. Для этого значения в точках, отмеченных как содержащие выбросы шума, принимаются в качестве оценки суммы т. е. считается, что для получения оценки усреднение по наблюдаемым зашумленным изображениям эквивалентно усреднению по ансамблю реализаций шума. В качестве оценки значений спектра незашумленного сигнала в этих точках принимаются значения предсказанные по ближайшим к ним неотмеченным отсчетам, как и в случае фильтрации импульсных помех Предсказание может быть выполнено, например, интерполяцией между этими отсчетами.

Коэффициенты описывающие фильтр-маску, находят по формуле (6.21). Непосредственно фильтрация шума теперь состоит в вычислении с помощью ортогонального преобразования по выбранному базису спектра наблюдаемого сигнала маскировании его коэффициентами по формуле (6.22) и восстановлении сигнала обратным преобразованием. При режекторной фильтрации спектральные компоненты сигнала с «отбракованными» на этапе обнаружения номерами просто приравниваются нулю. Другой вариант режекторной фильтрации состоит в вычислении отдельных отмеченных при обнаружении спектральных компонент фильтруемого сигнала и вычитании их из сигнала. Если количество этих компонент невелико, такой способ может оказаться экономнее способа с прямым и обратным

(кликните для просмотра скана)

преобразованием сигнала даже при использовании для преобразований быстрых алгоритмов.

Для иллюстрации описанной методики фильтрации периодических помех на рис. 6.11, а показан в логарифмическом масштабе график интенсивностей горизонтальных спектральных компонент преобразования Адамара для изображения, показанного на рис. 6.10.

Рис. 6.12. (см. скан)

На рис. 6.11, б показан график коэффициентов фильтра-маски. Результат фильтрации этим фильтром изображения на рис. 6.10 с использованием преобразования Адамара показан на рис. 6.12.

Эксперименты с фильтрацией периодических помех на изображении показывают, что «режекторная» фильтрация дает результаты, визуально не отличимые от фильтрации фильтром-маской, но при режекторной фильтрации следует более тщательно заботиться о надлежащем

продолжении сигнала для борьбы с краевыми эффектами. Кроме того, наличие на изображении очень контрастных деталей с резкими границами (как, например, граница планета — космос в космической съемке, глубокие тени и т. д.) при режекторной фильтрации может привести, наоборот, к появлению периодических искажений в районе этих границ, так как для таких деталей не выполняется предположение о гладкости спектра.

Рис. 6.13. (см. скан)

В этих случаях приходится прибегать к специальным мерам по удалению этих деталей из снимков перед фильтрацией и восстановлению их после фильтрации. Один из приемов такого удаления описан ниже (см. также § 8.7).

Другим примером аддитивных помех с сосредоточенным спектром, хорошо поддающихся линейной фильтрации, являются помехи типа полос и неравномерности фона, возникающие в некоторых фототелевизионных системах [1]. Пример изображения с такими помехами показан на рис. 6.13. Дискретный спектр Фурье подобных помех сосредоточен в области очень низких пространственных

частот: спектр полос — в полосах в зависимости от их направления и — номера вдоль: координат в частотной плоскости спектр пятна фона — в коэффициентах, близких к началу координат

Фильтрацию таких помех целесообразно производить, обработкой не в спектральной, а в пространственной области. Так, в [1] описана фильтрация двукратной обработкой сигнала одномерными рекурсивными фильтрами типа (3.29) по следующим формулам:

где — константа, равная половине максимального значения видеосигнала, использовавшаяся в качестве оценки неизвестного среднего по кадру значения видеосигнала, т. е. величины Каждый из одномерных фильтров, выравнивая локальное среднее значение сигнала, подавлял полосы в соответствующем направлении. При этом параметры сообразуясь с размерами пятна фона, выбирались равными 256 (в отдельных случаях 128) элементов при общих размерах кадра элемента. В спектральной области эти два одномерных фильтра полностью подавляли компоненту заменяя ее величиной, пропорциональной а, и почти в три раза ослабляли компоненты спектра вдоль полос Сечение частотной характеристики фильтра (6.25) показано на рис. 6.14. Результат такой обработки снимка, показанного на рис. 6.13, приведен на рис. 6.15. На примере этих снимков следует снова остановиться на необходимости при режекторной

Рис. 6.14.

фильтрации помех с сосредоточенным спектром удалять из изображения контрастные детали с резкими границами. В данном случае это реперные крестообразные марки (см. рис. 6.13, 6.15). Перед фильтрацией снимка, показанного на рис. 6.13, с помощью нелинейной процедуры обнаружения — сглаживания, описанной в § 8.5, крестообразные марки были удалены, а после фильтрации они были восстановлены на своих местах [1, 73].

Рис. 6.15.