3.2. Дискретное представление инвариантных к сдвигу фильтров, действующих на сигналы с ограниченным спектром
Дискретное представление сигналов при цифровой обработке чаще всего основывают на теореме отсчетов, рассматривая сигналы как функции с ограниченным спектром Фурье. Как уже отмечалось, такое представление очень удобно ввиду простоты его получения как совокупности отсчетов сигналов. Используемые в этом случае отсчетные базисные функции 
оказываются удобными и для представления линейных фильтров, инвариантных к сдвигу.
Чтобы прояснить физический смысл соотношений (3.1) -(3.5) в данном случае, повторим их вывод для базиса отсчетных функций.
Пусть 
— интервал частот спектра Фурье сигналов на входе линейных фильтров, инвариантных к сдвигу, так что они могут быть представлены в виде
Пусть также 
-импульсная реакция оператора (фильтра) (см. § 1.8), т. е.
Поскольку 
-сигнал с ограниченным спектром, то
т. е. 
также функция с ограниченным спектром, которую можно восстановить по ее отсчетам 
где
Перепишем теперь (3.7) в виде 00
где
— функция с ограниченным спектром, полученная в результате ограничения спектра импульсной реакции 
непрерывного фильтра.
Тогда отсчеты 
сигнала 
выражаются через отсчеты 
сигнала 
и отсчеты 
усеченной по спектру импульсной реакции фильтра 
где
Сравнив (3.14) и (3.7), можно заметить, что (3.14) есть не что иное, как известная формула прямоугольников для вычисления интеграла свертки (3.7) при шаге дискретизации по аргументу, равном 
Соотношение (3.14) (нетрудно видеть, что оно является вариантом соотношения (3.2)) - одно из основных соотношений, используемых для цифровой реализации линейных инвариантных к сдвигу фильтров. На нем основывают конечно-мерное приближение к непрерывному фильтру, отбрасывая в (3.14) члены с достаточно малыми значениями 
Этому дискретному фильтру соответствует непрерывный фильтр с импульсной реакцией
Действительно,
Все соотношения этого параграфа очевидным образом обобщаются на двумерный случай. Так, (3.16) можно переписать в виде
где 
- взятые на прямоугольном растре отсчеты сигналов и импульсной реакции фильтра, усеченной по спектру прямоугольным окном.
