5.3. Узкополосные сигналы

В этом параграфе изучается особый класс радиотехнических сигналов с ограниченным спектром, которые возникают на выходе частотно-избирательных цепей и устройств. По определению, сигнал называется узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной , образующих окрестности точек причем должно выполняться условие .

Как правило, можно считать что частота называемая опорной частотой сигнала, совпадает с центральной частотой спектра. Однако в общем случае выбор ее достаточно произволен.

Математическая модель узкополосного сигнала.

Прямой путь к формированию математической модели узкополосного сигнала состоит в следующем. Известно (см. гл. 2), что если — низкочастотный сигнал, спектр которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты, то колебание при достаточно большом значении будет обладать всеми необходимыми признаками узкополосного сигнала, поскольку его спектр окажется сконцентрированным в малых окрестностях точек Узкополосным будет и сигнал отличающийся фазой «быстрого» сомножителя. Наиболее общую математическую модель узкополосного сигнала можно получить, составив линейную комбинацию вида

Обе входящие сюда функции времени являются низкочастотными в том смысле, что их относительные изменения за период высокочастотных колебаний достаточно малы. Функцию принято называть синфазной амплитудой узкополосного сигнала при заданном значении опорной частоты а функцию (г) — его квадратурной амплитудой.

Синфазную и квадратурную амплитуды можно выделить аппаратурным способом. Действительно, пусть имеется перемножающее устройство, на один из входов которого подан узкополосный сигнал , а на другой — вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону На выходе перемножителя будет получен сигнал

Пропустим выходной сигнал перемножителя через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с частотами порядка Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное синфазной амплитуде .

Если на один из входов перемножителя подать вспомогательное колебание , то такая система будет выделять из узкополосного сигнала его квадратурную амплитуду

Комплексное представление узкополосных сигналов.

В теории линейных электрических цепей широко применяется метод комплексных амплитуд, согласно которому гармоническое колебание выражается как вещественная или мнимая часть комплексных функций:

Не зависящее от времени число назьтают комплексной амплитудой гармонического колебания.

С физической точки зрения узкополосные сигналы представляют собой квазигармонические колебания. Следует попытаться так обобщить метод комплексных амплитуд, чтобы иметь возможность в рамках этого метода описывать сигналы вида (5.25).

Введем комплексную низкочастотную функцию

называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала. Легко непосредственно проверить, что

Таким образом, комплексная огибающая применительно к узкополосному сигналу играет ту же роль, что и комплексная амплитуда по отношению к простому гармоническому колебанию. Однако комплексная огибающая в общем случае зависит от времени — вектор совершает на комплексной плоскости некоторое движение, изменяясь как по модулю, так и по направлению.

Пример 5.4. Узкополосный сигнал s(t) при и при является гармоническим колебанием; в момент времени t = 0 частота сигнала изменяется скачком:

Взяв в качестве опорной частоты получим следующее выражение для комплексной огибающей данного сигнала:

Подчеркнем, что выбор опорной частоты обычно диктуется удобством расчета. Так, например, комплексная огибающая рассматриваемого сигнала относительно опорной частоты имеет более сложный вид:

Физическая огибающая, полная фаза и мгновенная частота.

Формулу (5.27), определяющую комплексную огибающую, можно представить также в показательной форме:

Здесь — вещественная неотрицательная функция времени, называемая физической огибающей (часто, для краткости, просто огибающей), — медленно изменяющаяся во времени начальная фаза узкополосного сигнала.

Величины связаны с синфазной и квадратурной амплитудами соотношениями

откуда вытекает еще одна полезная форма записи математической модели узкополосного сигнала:

Подобно тому как это делалось ранее при изучении радиосигналов с угловой модуляцией, введем полную фазу узкополосного колебания и определим мгновенную частоту сигнала, равную производной по времени от полной фазы:

В соответствии с формулой (5.31) узкополосный сигнал общего вида представляет собой сложное колебание, получающееся при одновременной модуляции несущего гармонического сигнала как по амплитуде, так и по фазовому углу.

Свойства физической огибающей узкополосного сигнала.

Используя равенства (5.30), выразим физическую огибающую через синфазную и квадратурную амплитуды:

Как отмечалось, комплексная огибающая узкополосного сигнала определяется неоднозначно. Если вместо частоты входящей в формулу (5.28), взять некоторую частоту то сигнал должен быть представлен в виде

и новое значение комплексной огибающей

Однако при этом физическая огибающая, являющаяся модулем комплексной огибающей, останется неизменной, поскольку выражение имеет единичный модуль.

Другое свойство физической огибающей состоит в том, что в каждый момент времени Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из формулы (5.31). Знак равенства здесь соответствует моментам времени, когда

Но при этом производные сигналы и его огибающей совпадают:

Важность понятия огибающей обусловлена тем, что в радиотехнике широко используются специальные устройства — амплитудные детекторы (демодуляторы), способность точно воспроизводить огибающую узкополосного сигнала.

Свойства мгновенной частоты узкополосного сигнала.

Если комплексная огибающая сигнала представляется вектором, который вращается на комплексной плоскости с неизменной угловой скоростью , т. е. то в соответствии с выражением (5.32) мгновенная частота узкополосного сигнала постоянна во времени:

Можно утверждать, что подобный сигнал представляет собой квазигармоническое колебание, промодулированное только по амплитуде, но не по фазовому углу. В частности, если одна из амплитуд А, или тождественно обращается в нуль, то в любой момент времени мгновенная частота

В общем же случае мгновенная частота изменяется во времени по закону

Связь между спектрами сигнала и его комплексной огибающей. Пусть — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала s(t), который, в свою очередь, имеет спектральную плотность Нетрудно видеть, что

Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала может быть найдена путем переноса спектра комплексной огибающей из окрестности нулевой частоты в окрестности точек Амплитуды всех спектральных составляющих сокращаются вдаое; для получения спектра в области отрицательных частот используется операция комплексного сопряжения.

Формула (5.36) полезна тем, что по известному спектру узкополосного сигнала позволяет найти спектр его комплексной огибающей, которая, в свою очередь, определяет физическую огибающую и мгновенную частоту сигнала.

Пример 5.5. Узкополосный вещественный сигнал имеет при спектральную плотность, несимметричную относительно частоты

На основании формулы (5.36) спектральная плотность комплексной огибающей

Используя обратное преобразование Фурье, находим комплексную огибающую

Синфазную и квадратурную амплитуды исследуемого сигнала найдем, выделив вещественную и мнимую части:

Физическая огибающая рассматриваемого сигнала

Мгновенная частота

имеет наибольшее значение, равное в момент времени

Осциллограмма колебания представляет собой симметричный радиоимпульс с не постоянной во времени частотой заполнения.