8.2. Определение AN-кода

AN-код представляет собой отображение целых чисел в целые числа где А — некоторое фиксированное для каждого кода целое положительное число, называемое порождающим числом. Числа называют кодовыми числами, а их представления в системе счисления по основанию кодовыми словами. В этой главе рассматривается случай двоичной системы счисления, когда хотя многие результаты легко обобщаются и на случай произвольного

Очень важным свойством -кодов является то, что сумма кодовых чисел также является кодовым числом, а именно для любых двух целых чисел

Следовательно, если то число также является одним из кодовых чисел. Поэтому, если закодированные числа сложить с помощью обычного сумматора, то полученная в результате сумма будет кодовым числом суммы исходных чисел. Благодаря этому AN-коды могут обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие в сумматорах.

Если является делителем т. е. если является делителем каждого кодового числа то в представлении чисел по основанию самый младший разряд всегда будет равен 0. Далее, если не являются взаимно простыми, то в младших разрядах, начиная с некоторого, будут появляться только определенные символы, тогда как другие цифры никогда не появятся. Поскольку это нежелательно, будем предполагать, что взаимно просты. В случае это означает, что число

должно быть нечетно. -коды с называются двоичными -кодами.

Пример -код с параметрами т. е. двоичный приведен в табл. 8.8.

Таблица 8.8 (см. скан) Двоичный -код

Например, сумме соответствуют следующие суммы кодовых чисел и кодовых слов этого кода: Если при переносе 1 из разряда 23 в разряд 24 происходит ошибка, в результате которой эта единица переноса превращается в 0, то результатом вычисления будет число (нижний индекс показывает основание системы счисления). Остаток от деления этого числа на 13 равен 10, а это означает, что полученная сумма не является кодовым числом -кода. Следовательно, возникшая ошибка будет всегда обнаружена. В действительности, как мы покажем ниже, эта ошибка может быть и исправлена (см. пример 8.6).

Так как максимальное кодовое число равно то для представления чисел в двоичной системе счисления требуется двоичных символов, причем

т. е.

(Здесь наибольшее целое число, не превосходящее х, или, другими словами, целая часть Это число называют длиной двоичного -кода. Для представления исходных некодированных чисел в двоичной системе счисления

достаточно иметь

двоичных знаков. Таким образом, разность

представляет собой число избыточных двоичных символов, необходимых для того, чтобы множество целых чисел можно было представить с помощью -кода. Из формул получаем

Следовательно, величина является мерой избыточности -кода.

Пример 8.2. Избыточность -кода равна

Например, для представления целых чисел от 0 до включительно в двоичной системе счисления необходимо 9 разрядов, а для их представления в виде кодовых слов -кода требуется уже 14 двоичных символов. Следовательно, фактически необходимая избыточность равна пяти двоичным символам.

Избыточность -кода равна

Если этот код используется для представления десятичных цифр то избыточность этого кода будет равна 1, поскольку в данном случае длина кода равна 5, а минимальное число двоичных символов, необходимых для представления тех же цифр в двоичной системе счисления, равно 4.