5.7.2. Критерий устойчивости пороговой декодирующей логической схемы

Обозначим через вес внутреннего состояния регистра сдвига с нелинейной обратной связью, который определим как число ненулевых компонент вектора Необходимое условие устойчивости пороговой декодирующей логической схемы состоит в следующем.

Критерий устойчивости. Если каждый шаг декодирования, при котором значение оценки шумового символа равно 1, приводит к уменьшению веса внутреннего состояния, т. е. если при каждом таком шаге то пороговая декодирующая логическая схема является устойчивой.

Доказательство. Распространение ошибки будет иметь место только в том случае, если после каждой ошибки декодирования при декодировании последующих блоков возникнет хотя бы

одна новая ошибка декодирования. Однако в данном случае при этом вес внутреннего состояния обязательно будет уменьшаться. Максимальный вес внутреннего состояния равен так что если вес внутреннего состояния становится равным или меньшим, то значение оценки декодирования ни на каком из последующих шагов не может равняться 1. Следовательно, самое большее после сдвигов вес внутреннего состояния будет или меньше. Если вес внутреннего состояния не превышает то после самое большее сдвигов внутреннее состояние регистра сдвига с нелинейной обратной связью будет нулевым. Из вышеизложенного следует, что

Таким образом, мы доказали, что пороговая декодирующая логическая схема является устойчивой.

То, что самоортогональные коды имеют конечную глубину распространения ошибок, было показано Робинсоном и Бернстейном [3] непосредственно с помощью этого достаточного условия. Действительно, пусть -минимальное число ненулевых значений входов порогового элемента, при котором выход порогового элемента равен 1. В случае самоортогональных кодов на входы порогового элемента подаются символов синдромов. Если среди этих символов синдромов V или более равны 1, то выход декодирующей логической схемы оказывается равным 1 и используется для исправления ошибок и символов синдромов. После исправления этих символов синдрома равными 1 будут не более чем из них. Поскольку в режиме самоконтроля на вход поступают только символы 0, то в результате таких операций ни один из этих вводимых по цепи обратной связи в синдром символов 1 не уничтожится, так что число символов 1 среди символов синдрома уменьшится по крайней мере на Следовательно, необходимые условия устойчивости пороговой декодирующей логической схемы для самоортогональных кодов выполнены. Как показали Робинсон и Бернстейн, число ошибочных символов, которые должны следовать за произвольной ошибкой декодирования для самоортогональных кодов, удовлетворяет следующему соотношению:

где максимальное целое число, удовлетворяющее неравенству

Неравенство (5.66) гарантирует также устойчивость рассматриваемых в следующем разделе сверточных кодов,

исправляющих пачки ошибок. Однако для ортогонализируемых кодов это достаточное условие может и не выполняться. Например, для рассматриваемого в разд. 5.3 кода со скоростью и кодовым ограничением при символы синдрома и вес внутреннего состояния равен 3. В этом случае но после сдвига внутренним состоянием регистра сдвига оказывается последовательность 1001100, имеющая также вес 3. В подобных случаях необходимо пользоваться более сложными критериями устойчивости. Одним из таких критериев является рассматриваемый ниже критерий, основанный на использовании функции Ляпунова.