7.4.3. Расстояние Хэмминга
Одной из условностей, принятых в теории кодирования, является понятие расстояния. Широко используемое в теории кодирования расстояние Хэмминга между векторами 
определяется как число пар несовпадающих компонент этих векторов.
Фиг. 7.34. Троичные импульсы.
Например, расстояние Хэмминга между векторами (0,0,0) и (0, 1, 1) длины 3 с компонентами 0 и 1 равно двум. В то же время равно двум расстояние Хэмминга между троичными векторами (2, 1,0) и (0, 1, 1) с компонентами 0, 1 и 2. Кроме того, равно двум расстояние Хэмминга между векторами (2, 1,0) и (1, 1, 1).
Расстояние Хэмминга между двумя векторами определяется лишь числом пар несовпадающих компонент векторов и совершенно не учитывает, насколько сильно различаются несовпадающие компоненты. Слабые стороны такого определения расстояния становятся очевидными, если рассмотреть передачу по каналу с аддитивным гауссовским шумом компонент 0, 1 и 2
троичных векторов с помощью импульсов фиксированной длительности с амплитудами соответственно 0, 1 и 2 В, как показано на фиг. 7.34, а. Предположим, например, что по каналу передается последовательность импульсов, соответствующая вектору (2, 1, 0). В результате воздействия шумов эта последовательность может быть воспринята приемником и как последовательность, соответствующая вектору (0,1,1), и как последовательность, соответствующая вектору (1, 1, 1). Однако поскольку шум в канале является аддитивным и гауссовским, то, очевидно, что вероятность принять символ 2 как 0 меньше, чем вероятность принять символ 1 как 0. В то же время расстояние Хэмминга между вектором (2, 1, 0) и векторами (0, 1, 1), (1, 1, 1) одной то же.
Однако это неестественное с первого взгляда понятие расстояния Хэмминга позволяет упростить модель системы связи, а следовательно, и теоретический анализ последней. Расстоянием, которое определяется не только числом пар несовпадающих компонент, но и учитывает величину различия последних, является расстоянием Ли. Однако сразу следует заметить, что часть теории кодирования, основанная на расстоянии Ли, сравнительно невелика. Если же использовать еще более общее понятие расстояния, а именно евклидово расстояние, как показано на фиг. 7.33, в, то построить теорию кодирования оказывается почти невозможным.
