5.7. Распространение ошибок

При декодировании сверточных кодов часто наблюдается явление распространения ошибок, которое состоит в том, что однажды возникшая ошибка декодирования может привести к

возникновению ошибок в последующие моменты времени. В случае блоковых кодов, когда информационные символы разбиваются на блоки и каждый блок кодируется независимо от других, возникшая ошибка декодирования может оказать влияние на декодирование символов лишь в пределах одного блока. В случае же сверточных кодов, когда при кодировании каждый информационный символ воздействует на несколько блоков, возникновение одиночной ошибки при декодировании оказывает влияние на декодирование нескольких последующих блоков, а при некоторых неблагоприятных условиях и на бесконечное число блоков. В частности, в системах кодирования, использующих декодирование с обратной связью, при возникновении ошибки декодирования по неправильным оценкам значений ошибок осуществляется коррекция синдрома (естественно, неправильная), что может привести к новой ошибке декодирования. Таким образом, при построении сверточных кодов необходимо стремиться достичь не только высокой корректирующей способности, но и по возможности минимальной глубины распространения ошибок.

Глубина распространения ошибок при декодировании с обратной связью определяется структурой логических схем декодера, и поэтому анализ этой структуры обычно сводится к анализу функционирования регистров сдвига с нелинейной обратной связью, образующих декодирующие логические схемы. В случае, если шумы превышают корректирующую способность кода и это приводит к появлению ошибки декодирования, то обычно в течение некоторого периода времени ошибок не возникает, декодирующая логическая схема автоматически возвращается в нормальное рабочее состояние и распространение ошибок прекращается. В этом случае говорят о конечной глубине распространения ошибок. Если же декодирующая логическая схема в нормальное рабочее состояние не возвращается, то глубина распространения ошибок считается бесконечной. Таким образом, анализ распространения ошибок сводится к анализу работы регистров сдвига с нелинейной обратной связью, когда на их входы подаются нулевые символы, т. е. в режиме самоконтроля.

5.7.1. Анализ глубины распространения ошибок

Для простоты рассмотрим случай, когда Регистр сдвига, предназначенный для хранения символов синдрома, и логическая декодирующая схема декодера показаны на фиг. 5.5. В данном случае синдром

вычисляется в декодере согласно правилу

и подается на вход регистра синдрома, показанного на фиг. 5.5. При исправлении случайных ошибок с помощью порогового декодирования логическая декодирующая схема в момент времени по исправленному синдрому, символы которого получаются из символов синдрома вычитанием информационных шумовых символов, возникающих до момента 0, формирует оценки значений информационных шумовых символов в момент времени 0.

Фиг. 5.5. Регистр синдрома и логическая часть декодирующей схемы.

Используемый при этом исправленный синдром

определяется следующими равенствами:

Если предположить, что предшествующие оценки шумовых символов были верными, то последнее равенство сведется к следующему:

Величина задаваемая этим равенством, равна символу синдрома

Если функцию реализуемую декодирующей логической схемой, выбрать таким образом, чтобы значение давало правильные оценки символов то при условии, что предыдущие оценки правильные, эта функция будет давать правильные значения и Однако если хотя бы одно из значений предшествующих оценок было правильное, то значения величин будут отличаться от значений, даваемых формулой 5.63), и при декодировании с большой вероятностью оценки будут неверными.

Фиг. 5.6. Нелинейный регистр сдвига.

(Это в свою очередь порождает тенденцию к возникновению последовательности новых ошибок. В подобных случаях, когда конечное число ошибок в канале приводит к возникновению бесконечной последовательности ошибок декодирования, говорят, что декодирующая логическая схема с обратной связью имеет бесконечную глубину распространения ошибок.

Внутреннее состояние декодирующей логической схемы, показанной на фиг. 5.5, определяется состояниями ячеек регистра сдвига. Поэтому если после момента возникновения ошибки декодирования в течение последующих моментов времени декодирование происходит правильно, то влияние этой ошибки декодирования исчезает и схема оказывается в нормальном рабочем состоянии. Следовательно, необходимым условием возникновения бесконечного распространения ошибки является возникновение после каждой ошибки декодирования в течение последующих моментов времени новой ошибки декодирования.

Далее для простоты рассмотрим работу схемы, изображенной на фиг. 5.6, когда на вход регистра сдвига с нелинейной обратной связью подается последовательность из одних нулей, т. е. в режиме самоконтроля. Пусть - внутреннее состояние регистра сдвига и 0 — вектор, все компоненты которого равны нулю. Если обозначить через оператор следующего состояния, то функционирование схемы, показанной на фиг. 5.6, можно описать равенством

где некоторая векторная функция Вектор представляет собой состояние нелинейного регистра сдвига после однократного сдвига, состояние после последовательных сдвигов. Из того, что следует, что т. е. О является равновесным состоянием регистра сдвига с нелинейной обратной связью.

Определение 5.3. Если для каждого состояния существует такое что то регистр сдвига с нелинейной обратной связью называется устойчивым. В противном случае этот регистр называют неустойчивым.

Для самоортогональных кодов существуют простые достаточные условия устойчивости, которые оказываются полезными и с практической точки зрения. Для произвольных кодов простых общих критериев устойчивости не существует. В настоящее время известны два метода определения устойчивости: метод Ляпунова, использованный Месси и Лиу [32], и метод, предложенный Робинсоном [3] для дефинитного декодирования.