7.6.2. Вероятность ошибки при использовании алгебраических кодов

Найдем вероятность ошибки на блок и эквивалентную вероятность ошибки на символ которые понадобятся в дальнейшем [6].

Блоковые коды длины информационными символами, исправляющие ошибки кратности и менее, будем называть -кодами. Предположим, что при приеме о каждом переданном символе принимается независимое решение. В этом случае вероятность ошибки в кодовом слове -кода определяется равенством

где

а вероятность ошибки при принятии решения о каждом отдельном символе.

Чтобы строго определить эквивалентную вероятность ошибки на символ, необходимо знать полные статистические свойства ошибок, а не только то, что среди двоичных символов возникает или более ошибок. Вместе с тем каких-либо алгебраических законов, описырающих поведение ошибок для алгебраических кодов, не существует, и поэтому должны исследоваться и определяться вероятности различных конфигураций ошибок. Однако даже при использовании вычислительных машин эта задача весьма трудоемкая, так как требует очень большого числа операций. В данном разделе будет получена верхняя граница для вероятности ошибки на символ при следующих предположениях.

В случае возникновения или более ошибок в результате ошибочных действий декодер может породить еще ошибок.

Если среди символов появилось и более ошибок, то или более ошибок возникают случайно. Предположение о случайном возникновении или более ошибок вводится по следующим причинам:

I. Почти для всех алгебраических кодов при таком декодировании не существует каких-либо оснований к тому, чтобы результат ошибочных действий сказывался на каких-либо выделенных символах.

II. В процессе декодирования почти всех алгебраических кодов ошибки в информационных символах и ошибки в проверочных символах не разделяются. Следовательно, если результат ошибочных действий связать с некоторыми определенными символами и вероятности ошибок в символах считать различными, то путем расположения проверочных символов на позициях с высокой вероятностью ошибки можно понизить среднюю вероятность ошибки в информационных символах в случае, когда распределение вероятностей ошибок в символах неизвестно.

Итак, при сделанных выше предположениях ошибок в символах возникают независимо, так что среднее число ошибок в информационных символах равно Отсюда следует, что среднее число (математическое ожидание) ошибочных информационных символов равно

Следовательно, для эквивалентной вероятности ошибки на символ (после деления на и замены на 1)

получаем следующую верхнюю границу:

Вероятность в реальных системах обычно имеет значения порядка В случае когда т.е. при правые части формул (7.35) и (7.37) достаточно точно аппроксимируются их первыми или несколькими первыми членами.

Вероятность возникновения ошибки в отдельном символе при передаче по каналу (входящая в эти формулы) зависит от модуляции и должна определяться для каждой системы отдельно.