9.2.4. Минимальное расстояние циклических AN-кодов (В — составное число)

Минимальное расстояние кодов, для которых В является составным числом, определяется почти так же, как и в рассмотренном в разд. 9.2.3 случае простого В. Отличие состоит лишь в том, что если при простом В существует лишь один подкод то при составном В необходимо рассматривать уже несколько мультипликативных групп соответствующих подкодам для различных делителей числа В. Кроме того, если В не является простым числом, то не имеет порождающего элемента, подобного элементу использованному в разд. 9.2.3.

Первое из этих отличий приводит лишь к увеличению числа подкодов, которые должны быть рассмотрены, и увеличению в связи с этим объема вычислений, но не создает каких-либо принципиальных трудностей.

Рассмотрим особенности определения минимального расстояния, связанные со вторым из указанных выше отличий. Так как В является нечетным числом, то множество степеней числа 2, взятых по модулю В, является подгруппой группы Если разложить по этой подгруппе на смежных классов, как было описано в разд. 8.1.8, то можно получить таблицу, аналогичную табл. 9.8 из предыдущего раздела, т. е.

Таблица 9.13 (см. скан) Классификация вычетов (последовательное разложение)

расположить вычеты входящие в так, как показано в табл. 9.13. Лидер каждого смежного класса этой таблицы выбирается из элементов, не вошедших ни в один из смежных классов; порождаемых предшествующими лидерами Согласно теореме 9.2, минимальное расстояние простого кода определяется числом вычетов лежащих в центральном интервале числа В. Следовательно, вычислив минимальные расстояния всех простых кодов и выбрав из них минимальное, можно определить минимальное расстояние

Вычисленные таким образом значения минимального расстояния некоторых циклических -кодов, параметр В которых является составным числом, приведены в табл. 9.14.

Таблица 9.14 (см. скан) Минимальное расстояние и длина циклических -кодов с составным

1 В заключение этого раздела остановимся на связи между разложением чисел вида на множители и построением различных циклических -кодов, имеющих одну и ту же длину Обычно в разложение числа

входит несколько простых делителей. Распределяя эти делители между так, чтобы выполнялось условие всегда будем получать коды одной и той же длины Как было указано в разд. 8.1.11, число может быть представлено в виде произведения круговых чисел, а именно

Если среди делителей В существует простое число, большее которое делит то Если В имеет такой сомножитель, то независимо от того, каковы другие сомножители В, получающийся код будет иметь длину Следовательно, выбирая В по возможности большим, но так, чтобы выполнялось указанное выше условие, можно максимизировать число кодовых слов в коде, не увеличивая длину последнего. Однако вполне естественно, что при этом может уменьшиться минимальное расстояние. Как можно видеть из формулы (9.28), число различных делителей не меньше числа делителей Поэтому всегда можно построить циклические -коды одной и той же длины с различным числом кодовых слов и различным минимальным расстоянием.

Например, рассмотрим разложение :

Некоторые возможные способы распределения простых делителей между и 5 приведены в табл. 9.15.

Таблица 9.15 (см. скан) Распределение делителей и минимальное расстояние получающихся кодов

Все задаваемые табл. 9.15 коды содержат в качестве подкода Так как 2 является примитивным корнем 29, то минимальное расстояние подкода равно Как видно из табл. 9.15, по мере введения в число сомножителей В других делителей 228— 1, отличных от 29, число кодовых слов возрастает, а минимальное расстояние уменьшается. В этой таблице в качестве сомножителя В, который делит используется число 29. Поскольку то вместо 29 можно использовать также и 113. Однако минимальное расстояние равно 6, а поэтому минимальное расстояние кодов, параметр В которых имеет в качестве сомножителя не может превышать

Наконец, заметим, что если отказаться от того, что В должно содержать в качестве одного из своих сомножителей простое число, которое делит то, определив все делители В числа удовлетворяющие условию можно найти максимально возможное значение В, порождающее циклический AN-код заданной длины с заданным минимальным расстоянием Этот код имеет наибольшее число кодовых слов из всех кодов заданной длины с заданным минимальным расстоянием и в этом смысле является оптимальным.