7.6.3. Многоуровневая фазовая модуляция и кодирование

Как указывалось в разд. 7.6.1, установление взаимосвязи между вероятностью ошибки и необходимым для передачи одного двоичного символа отношением энергии принимаемого сигнала к мощности шумов позволяет рассматривать проблемы модуляции и кодирования на единой основе. Ниже мы продемонстрируем еще раз взаимосвязь модуляции и кодирования и покажем, что использование кодирования в системах с многоуровневой фазовой модуляцией позволяет улучшить отношение сигнал/шум при фиксированной вероятности ошибки.

При многоуровневой фазовой модуляции и отсутствии ограничения на выбор отношения сигнал/шум в канале можно повысить за счет увеличения числа фаз. Однако с увеличением числа фаз увеличивается отношение необходимое для достижения заданной вероятности ошибки. Задача состоит в том, чтобы найти точку, в которой возрастание отношения за счет увеличения числа фаз компенсируется уменьшением за счет введения кодов, исправляющих небольшое число ошибок; решив эту задачу, мы покажем на ее примере эквивалентность систем модуляции (в широком смысле) и систем кодирования при обеспечении помехоустойчивости.

Система связи с многоуровневой фазовой модуляцией и помехоустойчивым кодированием информации показана на фиг. 7.35. Двоичные символы с выхода источника информации сначала поступают на вход блокового кодера, который разбивает их на

блоки и преобразует в кодовые слова некоторого блокового кода, исправляющего ошибки, например БЧХ-кода. Далее последовательность символов с выхода блокового кодера поступает на вход фазового кодера, который преобразует ее в последовательность символов кода Грея, каждый из которых содержит двоичных информационных символов. Символы кода Грея передаются по каналу посредством импульсов фиксированной длительности с модулированной фазой. При приеме сначала осуществляется синхронное детектирование каждого принятого импульса и далее берется отсчет в максимуме выхода детектора. После декодирования фазовый код преобразуется в двоичный код.

Фиг. 7.35. Модель системы связи с многоуровневой фазовой модуляцией.

С помощью БЧХ-декодера проводится исправление ошибок в двоичных словах, после чего информационные символы направляются получателю информации.

Следуя Кану [7], рассмотрим более детально систему связи с сигналами вида

где мощность принимаемого сигнала. Предположим, что в канале действует аддитивный белый гауссовский шум

где низкочастотные случайные компоненты В этом случае распределение фазы на выходе

синхронного детектора имеет следующий вид:

а вероятность ошибки в символе может быть вычислена по формуле

где

Амплитуда сигнала с модулированной фазой при наличии ограничений на ширину полосы не является постоянной и, вообще говоря, канал связи необходимо рассматривать вместе с фильтром. Однако здесь, следуя Беннету и Дэви [12], в целях упрощения при проведении анализа будем считать амплитуду сигнала постоянной.

Фазовый код, задаваемый таблицей Грея, обладает тем свойством, что кодовые слова, соответствующие сигналам с соседними фазами, различаются лишь в одном двоичном символе. При воздействии сильных шумов в результате сильного искажения фазы передаваемого сигнала могут возникать ошибки в двух и большем числе символов кодовых слов кода Грея. Как будет видно ниже, в наиболее важной с практической точки зрения области вероятностей ошибок в отдельном символе, а именно при такими кратными ошибками можно пренебречь.

Положим, например, В этом случае а вероятность ошибки, обусловленная переходом сигнала в соседний, равна При этом вероятность ошибки из-за выхода сигнала за пределы соседнего равна т.е. приблизительно в 105 раз меньше вероятности Аналогично можно убедиться в том, что и во всех остальных случаях в практически важной области вероятностей ошибок в символе с погрешностью, не превышающей

В области вероятностей ошибок в символе, для которых справедливо указанное выше предположение, по аналогии с выводом формул (7.35) и (7.37) в предыдущем разделе для вероятностей ошибок на блок и на символ можно получить

следующие оценки сверху:

Здесь через обозначено наименьшее целое число, большее или равное х. В случае правые части последних равенств достаточно точно аппроксимируются первыми членами.

Равенство (7.41) определяет отношение сигнал/шум, необходимое для передачи одного символа. В системах связи с многоуровневой фазовой модуляцией и помехоустойчивым кодированием информации для нахождения отношения сигнал/шум, которое требуется для передачи одного двоичного символа, необходимо внести поправку, обусловленную ростом числа фаз и избыточностью кодов, исправляющих ошибки. При наличии ограничений на ширину полосы поправка вносится путем умножения времени на Таким образом, если вычислять в децибелах, то

где время, необходимое для передачи одного двоичного символа. На фиг. 7.36 приведены результаты вычислений с учетом указанной выше поправки отношения сигнал/шум и вероятности ошибки в случае при использовании БЧХ-кодов с параметрами (127, 120, 1), (127, 114, 2) и (127, 106, 3). Как видно из этих данных, системы без кодирования с и системы с использующие -код, в области практически важных значений почти эквивалентны.

Таким образом, многоуровневая фазовая модуляция использует повышение отношения для достижения заданной вероятности ошибки, а методы помехоустойчивого кодирования, основанные на использовании кодов, исправляющих ошибки, допускают снижение отношения

Фиг. 7.36. (см. скан) Зависимость вероятности ошибки на символ от

Использование кодов, исправляющих ошибки, в системах связи с многоуровневой фазовой модуляцией обеспечивает определенную свободу при проектировании систем благодаря предоставляющейся возможности изменения отношения путем изменения числа фаз

Рассмотренный выше метод передачи включает преобразование двоичной последовательности, получающейся в результате помехоустойчивого кодирования информационных символов, в сигналы многоуровневой фазовой модуляции. Существует несколько способов реализации такого преобразования, в

частности с помощью использованного выше кода Грея. Другой способ описывается в работе Имаи и др. [8]. Как показывают расчеты, последний способ в некоторых случаях приводит к лучшим результатам, чем код Грея.