5.4. Принцип порогового декодирования

Равенство (5.13), которое задает символы синдромов в моменты времени запишем в несколько более общем виде, считая, что символы синдромов порождаются в моменты

времени и от до

Рассмотрим проверку

являющуюся линейной комбинацией символов синдромов. Эта проверка называется составной проверкой. Поскольку символы задаваемые формулой (5.37), являются линейными комбинациями шумовых символов возникающих за время то составные проверки также являются линейными комбинациями этих символов Принцип порогового декодирования был сформулирован Месси [2] следующим образом.

Определение 5.1. Система из составных проверок контролирующих называется ортогональной относительно еесли никакой другой шумовой символ, отличный от не контролируется более чем одной проверкой этой системы (шумовой символ контролируется проверкой тогда и только тогда, когда он входит в эту проверку с ненулевым коэффициентом)

Рассмотрим один из методов мажоритарного декодирования, который позволяет определить из системы проверок ортогональных относительно Здесь и далее через будем обозначать наибольшее целое число, не превосходящее

Теорема 5.1. Пусть отличны от нуля не более шумовых символов в совокупности контролируемых системой из составных проверок ортогональных относительно (т.е. имеется не более ошибок в соответствующих принятых символах). Тогда есть значение, принимаемое большинством составных проверок (в случае, когда ни одно значение из не принимается абсолютным большинством составных проверок, считается, что

Доказательство. Положим и допустим, что все другие шумовые символы, входящие в проверки системы имеют значение 0, Тогда

Если то шумовых символов могут изменить значения не более чем проверок из (5.39), а поэтому не менее чем проверок среди равны нулю. Таким образом, нуль является либо наиболее часто встречающимся (при нечетном либо одним из двух одинаково часто встречающихся значений проверок из однако в любом случае указанное в теореме правило декодирования дает правильное значение шумового символа.

Далее предположим, что этом случае и среди других шумовых символов отличными от нуля могут быть самое большее символов. Следовательно, не менее чем проверок в (5.39) равны V, так что указанное в теореме правило декодирования вновь дает правильное значение шумового символа

Если то из теоремы 5.1 следует, что символ может быть правильно определен во всех случаях, когда число ошибок не превышает Если то символ снова может быть правильно определен во всех случаях, когда произошло не более ошибок; при этом дополнительно могут быть об наружены любые ошибок. Это означает, что расстояние Хэмминга между любыми двумя кодовыми словами не меньше чем Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Следствие 5.1. Если линейный код допускает образование системы из проверок, ортогональных относительно то минимальное расстояние этого кода не меньше чем

Параметр I называется числом ортогональных проверок.

Метод мажоритарного декодирования в случае двоичных кодов сводится к следующему.

Теорема 5.2. Если система из проверок, ортогональных относительно то алгоритм мажоритарного декодирования таков: выбирать тогда и только тогда, когда сумма всех (рассматриваемых как действительные числа) превосходит порог если четное, и если нечетное.

Теорема 5.2 указывает очень простой способ декодирования. А именно если задан код, ортогональный относительно то при приеме следует сначала вычислить синдромы, а затем путем линейного преобразования полученных синдромов найти составные проверки. Далее составные проверки следует подать на входы порогового элемента, имеющего порог и

исправить возникшие ошибки с помощью выходного символа этого порогового элемента.

Приведенные выше две теоремы касались лишь исправления шумового символа воздействующего на информационный символ в момент и. Однако сверточные коды таковы, что, выполняя в точности те же самые операции только в моменты времени можно провести исправление также и шумовых символов действующих в моменты времени начало отсчета времени обычно выбирают момент однако при пороговом декодировании для исправления шумового символа используются символы синдромов от момента 0 до момента При этом после нахождения шумового символа иногда с помощью цепи обратной связи «воздействие» на синдром устраняется, а в других случаях цепь обратной связи отсутствует и синдром остается искаженным шумовым символом даже после нахождения последнего. В последних случаях декодирование называют дефинитным. Коды, используемые при дефинитном декодировании, имеют приблизительно в 2 раза большее кодовое ограничение, чем коды, используемые при декодировании с обратной связью. При этом, вообще говоря, ухудшаются корректирующие способности кодов, но благодаря отсутствию цепи обратной связи при возникновении шумов, превосходящих допустимый уровень, возникшие ошибки могут распространяться лишь на конечную глубину.