9.2.2. Минимальное расстояние AN-кодов, удовлетворяющих специальным условиям

Минимальное расстояние произвольного циклического AN-кода можно оценить, используя результаты разд. 9.1 и 9.2.1. В этом разделе будет рассмотрено несколько случаев, когда для минимального расстояния кодов, удовлетворяющих определенным условиям, удается получить явные оценки.

Длина число кодовых слов В и порождающее число всех рассматриваемых здесь кодов удовлетворяют условию и, кроме того, делит Все результаты, приведенные ниже в получаются непосредственно из лемм 9.1, 9.2 и теоремы 9.2.

а) (р - простое число, для которого число 2 является примитивным корнем).

Так как В — простое число, то в данном случае Далее, поскольку 2 является примитивным корнем В, то существует ненулевых вычетов, порождающих муль типликативную группу порождаемую числом 2. Поэтому, как уже указывалось в разд. 9.1.4, существует только одна

подгруппа соответствующая Произвольное кодовое слово из может быть получено путем циклических сдвигов и имеет вес

Это можно показать следующим образом. Так как 2 является примитивным корнем В, то числа при изменении от 1 до «пробегают» все ненулевые вычеты. Следовательно, согласно лемме 9.1, в входит вычетов. Отсюда и из теоремы 9.2 в свою очередь следует, что вес равен а минимальное расстояние рассматриваемых -кодов равно

Далее, так как является четным числом, то Если допустить, что то это противоречило бы тому, что Следовательно, Но тогда, согласно лемме 9.3, рассматриваемые коды являются самодополняющими.

Таблица 9.7 (см. скан) Циклический AN-код с

В табл. 9.7 приведен код с Так как , то

Вес а следовательно, и вес можно определить по 3, 4 и 5-й строкам этой таблицы или по числу вычетов являющихся элементами (в таблице эти вычеты отмечены знаком

— простое число, нечетное число. Так как в этом случае то 2 является квадратичным вычетом по модулю Следовательно, согласно формуле (8.24), где целое число. Если то нечетное число. Таким образом, в данном случае является простым числом вида Если нечетное число, то, согласно лемме 9.3, код не является самодополняющим. Кроме того, заметим, что по условию Следовательно, в существуют два простых кода Однако, как следует из леммы 9.2, если

вычет принадлежит то а поэтому веса равномерно распределяются по Это означает, что минимальный вес равен и минимальное расстояние кода определяется равенством

Аналогично определяется минимальное расстояние кодов, рассматриваемых ниже в п. «в»-«ж».

в) — простое число, 2 — примитивный корень

В этом случае

В частности, если имеет вид то все подкоды имеют один и тот же минимальный вес, равный длины кода.

г) - простое число, 2 — квадратичный вычет по модулю нечетное число.

д) - простые числа, имеющие своим примитивным корнем число 2, В не делит .

е) — простые числа, 2 — примитивный корень и квадратичный, вычет по модулю не делит

ж) - простые числа, 2 является примитивным корнем и не делит Предположим, что

2) В остальных случаях