2.6.4. Разностные множества

Множество из целых чисел называется (совершенным) разностным -множеством, если при делении разностей на целое число каждый из остатков встречается ровно К раз.

Из определения непосредственно следует, что

Утверждение 2.79. Пусть разностное -множество, и

Тогда множество рассматриваемое как множество точек, и система прямых являются конечной проективной геометрией размерности

Пример. Множество (0, 1, 3) является разностным -множеством.

Получающаяся из этого разностного множества проективная геометрия совпадает с рассмотренной выше проективной геометрией

Рассмотрим один из способов построения разностных множеств. Заметим, что, кроме этого способа существует много других способов, подробное описание которых можно найти в [7].

Утверждение 2.80. Пусть простое число, такое, что Тогда множество квадратичных вычетов по модулю является разностным -множеством.

Доказательство. Нужно показать, что при любом сравнение имеет одно и то же число решений . Предположим, что сравнение имеет решений Если квадратичный вычет, то и решениями сравнения являются Если квадратичный невычет, то, согласно утверждению квадратичным вычетом является Полагая получаем, что решениями сравнения являются Таким образом, мы доказали, что для каждого сравнение имеет ровно решений, а означает, что разностное множество. Как следует из формулы (2.14),

Пример. Так как в этом случае то Если найти все разности, то непосредственно убедиться, что каждое из чисел, отличнее от 0 и меньше 11, входит в множество разностей ровно Действительно,