2.6.5. Дополняющий базис

Пусть простое число. След элемента относительно определяется соотношением

Утверждение 2.81. Для любого базиса векторного пространства над полем существует двойственный базис обладающий следующим свойством

Доказательство. Рассмотрим матрицу

Матрица является невырожденной, поскольку элементы линейно независимы над Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу Определитель А обозначим через Пусть квадратная матрица порядка и пусть определитель матрицы, получающейся из матрицы удалением строки и столбца; называется минором. При этом величина называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается через Матрица

называется дополнительной матрицей матрицы и обозначается через Матрица обладает следующим свойством:

где единичная матрица порядка Попробуем найти матрицу

и т. д. Имеют место также следующие равенства:

где Докажем, например, справедливость равенства Согласно определению определителя,

где сумма берется по всем наборам чисел получающимся в результате перестановки чисел знак перестановки. Воспользовавшись вышеизложенным (см. задачу 2.27), получим

Аналогично доказываются и остальные приведенные выше равенства. Из этих равенств следует, что Следовательно, первым столбцом матрицы является вектор

где Аналогично через можно выразить и остальные столбцы матрицы Таким образом,

Очевидно, что элементы линейно независимы (если допустить, что они линейно зависимы, то должны существовать такие элементы что . В этом случае но это противоречит тому, что невырожденная матрица).

Из равенства получаем

Утверждение 2.81 доказано.