6.9.2. Нижняя граница Гилберта для сверточных кодов при декодировании с обратной связью
Нижняя граница Гилберта для сверточных кодов, используемых при декодировании с обратной связью, для произвольных скоростей передачи 
была получена Возенкрафтом [1], когда 
В общем случае нижняя граница выводится аналогично, в частности, использованный ниже метод вывода этой границы может быть непосредственно обобщен на случай произвольных кодов.
В случае 
блоки 
представляют собой просто двоичные символы а матрицы 
вырождаются в вектор-столбцы
При
Вектор в левой части (6.174) назовем 
-вектором, матрицу размера 
в правой части — информационной матрицей, а вектор 
информационным вектором. Вектор-строку, компонентами которого являются компоненты информационного вектора и 
-вектора, связанные между собой равенством (6.174), будем называть начальным кодовым вектором. Начальный кодовый вектор состоит из 
двоичных символов, 
из которых являются компонентами информационного вектора, а остальные 
-компонентами 
-вектора. Говорят, что некоторый код имеет
минимальное расстояние 
строго меньшее 
если вес некоторого его начального кодового вектора меньше 
Всего имеется 
двоичных векторов длиной и веса 
или менее. Далее потребуется следующая известная оценка сверху для указанной выше суммы в следующей лемме.
Лемма 6.2.
где 
функция, называемая энтропией и определяемая равенством
Доказательство. Лемму 6.2 можно доказать различными способами. Здесь, следуя Парку [20], докажем ее методом математической индукции. Для этого положим
1. В случае 
и (6.175) выполняется со знаком равенства.
2. В случае 
3. В случае 
справедливость неравенства (6.175) докажем индукцией. Предположим, что неравенство (6.175) имеет место при 
и 
и докажем его справедливость при 
Сначала заметим, что
и, следовательно,
Оценивая слагаемые в правой части (6.179) с помощью неравенства (6.175), которое по предположению индукции выполняется при данных 
и 
и полагая
после несложных преобразований находим, что
Покажем, что а 
и этим завершим доказательство леммы. Логарифмируя выражения (6.180) и (6.181) и используя неравенство 
получаем
Отсюда следует, что
Так как 
и при всех 
то 
следовательно, 
Лемма 6.2 доказана.
Используя неравенство (6.175), сумму можно оценить сверху следующим образом:
Так как в случае 
информационная матрица в (6.174) имеет ранг 
то доля кодов, таких, что заданный информационный вектор с 
и произвольный фиксированный 
-вектор являются решением (6.174) (т. е. доля кодов, содержащих начальное кодовое слово, образованное заданным информационным вектором с 
и заданным 
-вектором), равна 
Следовательно, доля кодов, содержащих по крайней мере одно из начальных кодовых слов веса 
или менее, не превосходит 
(здесь мы воспользовались неравенством (6.186)). Отсюда в свою очередь следует, что если 
по крайней мере одни из кодов имеет минимальное расстояние 
или более. Логарифмируя последнее неравенство и учитывая, что 
указанное выше условие существования кода с минимальным расстоянием 
или более перепишем в виде 
или, что то же самое, 
Если этот результат обобщить на случай произвольных кодов, то получится следующая теорема.
кодовым ограничением 
и минимальным расстоянием 
где 
наибольшее целое число, удовлетворяющее условию
