2.3. Векторные пространства

Векторные пространства. Определим векторное пространство V над полем как алгебраическую систему, удовлетворяющую указанным ниже аксиомам:

V. 1. V является аддитивной группой.

v. 2. Для любых двух элементов определено произведение являющееся элементом V.

Утверждение 2.28. Векторное пространство V над полем обладает следующими свойствами:

1) (0 в левой части равенства — элемент поля а 0 в правой части — элемент V, являющийся единичным элементом аддитивной группы V и называемый нулевым вектором);

2) в левой части равенства — элемент поля в правой части — элемент V, обратный

Доказательство. Согласно определению нулевого элемента поля для любого элемента имеет место равенство . Тогда

Так как V является аддитивной группой и в этой группе существует единственный единичный элемент (в данном случае это нулевой вектор 0), то

Доказательство свойств 2 и 3 опускается.

Утверждение 2.29. Пусть множество всех последовательностей длины с компонентами из поля т. е.

Пусть

Тогда является векторным пространством над полем

Если

Рассмотрим векторное пространство V над полем Векторы из V называются линейно зависимыми, если в существуют такие элементы (по крайней мере один из которых не равен нулю), что

и линейно независимыми в противном случае. А именно векторы являются линейно независимыми, если равенство (2.5) выполняется лишь когда Максимальное число линейно независимых векторов в V называется размерностью векторного пространства V над полем обозначается через Пусть линейно независимые векторы из V (по определению в V существует хотя бы одна такая совокупность векторов). Тогда любой вектору из V можно представить как линейную комбинацию векторов из этой совокупности:

где Действительно, как следует из определения совокупность из векторов линейно зависима, и, следовательно, существуют такие элементы что

и не все у равны нулю (в частности, ).

Умножая обе части последнего равенства на элемент являющийся обратным по умножению к элементу получаем

Таким образом, мы показали, что любой вектор и из У можно представить в виде линейной комбинации векторов Любая совокупность таких линейно независимых векторов из V, что любой вектор из V может быть представлен в виде их линейной комбинации, называется базисом. Базис векторного пространства V можно выбрать различными способами. Однако можно доказать, что число векторов в любом базисе равно размерности векторного пространства Если размерность векторного пространства V конечна, то подмножество векторов из V является базисом тогда и только тогда, когда состоит из линейно независимых векторов.

Утверждение 2.30. Пусть один из базисов векторного пространства Представление (2.6) любого вектора единственно.

Доказательство. Предположим, что вектор из V может быть представлен в виде (2.6) двумя различными способами, а именно Тогда

Так как векторы линейно независимы, то т. е.

Подмножество векторного пространства V, удовлетворяющее следующим двум условиям:

2) для любых элемент само является векторным пространством над и называется подпространством векторного пространства

Пусть - базис векторного пространства V над полем Скалярное произведение а двух векторов определяется равенством

Если скалярное произведение двух векторов из К равно нулю, то говорят, что эти векторы ортогональны. Ортогональное дополнение подпространства векторного пространства V определим следующим образом:

Кроме того, введем сумму двух подпространств и векторного пространства V:

Утверждение 2.31. Пусть подпространства Тогда также является подпространством

Доказательство. Проверим справедливость свойств 1 и 2 в определении подпространства для

2) Свойство 2 проверяется аналогично.

Утверждение 2.32. Если подпространства V, то также является подпространством

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущего утверждения, проверим справедливость свойств 1 и 2 в определении подпространства:

2) свойство 2 проверяется аналогично.

Утверждение

Доказательство. Пусть существует базис из векторов. Присоединив к этим векторам дополнительных векторов, можно построить базис для Точно так же, присоединяя к тем же векторам векторов, можно построить базис для . В качестве базиса для можно взять базис из векторов, присоединив к нему дополнительных векторов из базиса дополнительных векторов из базиса Тогда

Утверждение 2.34. Пусть подпространства векторного пространства Тогда

Доказательство. Так как

то

С другой стороны,

Утверждение 2.35. Пусть V — векторное пространство размерности над полем порядка подпространства размерностей соответственно векторного пространства Тогда

где через обозначено число элементов в множестве

Доказательство, Согласно предыдущему утверждению,

Тогда