4.7.2. Метод декодирования
Пусть 
соответственно переданный кодовый вектор и вектор ошибок. Принятый вектор 
обозначим через и. Положим 
Определяя многочлен 
с помощью формулы (4.45), из соотношения (4.46) получаем
Так как 
не имеет кратных корней, то, согласно формуле (4.43),
Следовательно,
Положим
Многочлен 
может быть найден по принятому вектору. Имеет место следующее соотношение:
Так как 
четное число, то положим 
Далее будем предполагать, что 
или, что то же самое,
Задача заключается в том, чтобы найти по заданному многочлену 
такой многочлен 
что
Сначала покажем, что многочлен, являющийся решением этой задачи, определяется однозначно с точностью до свободного члена. Пусть 
-многочлен с коэффициентами из 
не имеющий кратных корней. Если предположить, что 
и
то 
а следовательно, 
Так как 
то 
так что 
Так как 
не имеет кратных корней, то 
взаимно простые, а поэтому 
Аналогично получаем, что 
значит, 
Далее для простоты рассмотрим лишь случай, когда 
не имеет кратных корней. При этом, определяя 
с помощью равенства (4.60), предварительно заменив в нем 
на 
получим
Если 
-многочлен степени не больше 
такой, что
то 
Так как 
является полным квадратом, то 
Следовательно, 
и с точностью до свободного члена решение определяется однозначно. Решение сравнения (4.61) имеет следующий вид:
Подставляя это решение в формулу (4.61), после несложных преобразований получаем
Пусть 
матрица размера 
у которой диагональные элементы с четными номерами равны 1, а остальные элементы равны 
матрица размера 
элемент которой равен 
. В этих обозначениях уравнение (4.62) будет иметь следующий вид:
Из единственности решения следует, что матрица 
является невырожденной, если 
и вырожденной, если 
Таким образом, мы получили следующий алгоритм декодирования. (Если 
, будем считать, что 
1) По принятому вектору находится 
Если 
то принимается решение о том, что ошибок при передаче не было. Если 
то переходят к шагу 2.
2) Для каждого 
находится остаток 
от деления 
3) Строится матрица 
Если полученная матрица является вырожденной, то к 
компоненте прибавляется единица и осуществляется переход к шагу 1. Если полученная матрица оказывается невырожденной, то находится решение 
уравнения
и далее определяется 
4) Подставляя в 
последовательно элементы 
находят все корни 
уравнения 
Компоненты принятого вектора с номерами 
заменяются на противоположные.
Как следует из утверждения 4.29, минимальный вес 
«хороших» кодов Гоппы значительно превышает правые части (4.54) и (4.55). Однако хороших методов исправления ошибок веса более чем 
неизвестно. В тех случаях, когда ошибки веса до 
исправляются, а ошибки большего веса обнаруживаются, вероятность ошибочного декодирования обычно тем меньше, чем больше 
так что с этой точки зрения «хорошие» коды Гоппы более предпочтительны, чем примитивные БЧХ-коды, для которых 
меньше приблизительно в полтора раза.
Пример 4.16 [53]. Пусть 
Так как в этом случае многочлен 
не должен иметь корней среди элементов 
то он должен выбираться из многочленов, неприводимых над 
или их произведений. Пусть а — примитивный элемент 
его минимальный многочлен. Упорядочим элементы 
следующим образом: 
Так как элемент 
имеет порядок 5 и его минимальный многочлен есть 
то сумма корней 
равна 1. Тогда, согласно утверждению 2.10, многочлен 
является неприводимым над 
и его можно использовать в качестве 
. С помощью таблицы из задачи 2.59 можно проверить, что 
В этом случае матрица (4.49) имеет вид
Если представить эту матрицу в двоичном виде, то она будет иметь следующий вид:
Так как ранг этой матрицы равен 8, то код имеет 8 проверочных и 8 информационных символов.
Предположим, что ошибки возникли в 1-й и 5-й компонентах. Тогда
Уравнения (4.59) имеют вид
Следовательно, 
. В этом случае, как легко проверить, 
Из примера 4.15 следует, что расширенный код кода Гоппы, рассмотренного в данном примере, эквивалентен циклическому 
-коду с минимальным весом 6 (принадлежащему классу БЧХ-кодов из утверждения 4.4).
