2.6.3. Конечные геометрии

В этом разделе рассматриваются главным образом конечные евклидовы геометрии на языке их конечных представлений. Конечные геометрии так же, как группы и поля, являются системами, которые определяются совокупностью аксиом, однако в данном случае вполне можно отказаться от общности изложения и рассмотреть конечные геометрии в одном из их конкретных представлений. Детальное изложение теории конечных геометрий можно найти в [5]. Конечные геометрии используются в теории планирования экспериментов [6], в теории кодирования для введения проективно-геометрических кодов и для других целей.

Конечные евклидовы геометрии. Последовательности из элементов поля

будем называть далее точками. Пусть две различные точки. Совокупность точек, где а — элемент поля

назовем прямой, проходящей через и обозначим через Следовательно, одна прямая содержит точек. ство из точек и систему прямых, определенных указанным выше способом, назовем евклидовой геометрией размерности и будем обозначать через Параметр евклидовой геометрии указывает не на то, что последняя «берется над полем а определяет число точек, содержащихся в одной прямой. Использованный здесь способ описания конечной евклидовой геометрии, при котором каждая точка задается своими координатами, являющимися элементами поля представляет собой не более чем один из способов представления Некоторые авторы обозначают введенную выше конструкцию не через а через При этом они исходят из того, что геометрию в которой не введено расстояние, следует называть аффинной геометрией.

Определим -пространство в как множество из точек удовлетворяющих соотношению

где вектор-столбцы, полученные транспонированием последовательностей матрица размера с элементами из поля имеющая ранг . В частности, О-пространство называется точкой, -пространство—прямой, -пространство—плоскостью, -пространство — гиперплоскостью в Другими словами,

гиперплоскость — это множество решений одного линейного уравнениия

Поэтому -пространство — это пересечение гиперплоскостей. Вначале прямая была определена как совокупность линейных комбинаций двух точек, а затем прямой было названо также -пространство. Покажем, что в действительности оба эти определения эквивалентны. Пусть

— две различные точки, принадлежащие -пространству. Рассмотрим все линейные комбинации этих двух точек. Так как то

т. е. все линейные комбинации принадлежат -пространству. Далее рассмотрим совокупность точек являющихся линейными комбинациями точек . В этом случае

Отсюда следует, что

Таким образом можно получить независимых соотношений, связывающих координаты точек

Сформулированные выше утверждения могут быть распространены на произвольные -пространства. Действительно, рассмотрим точек таких, что ранг матрицы равен такие точки называются линейно независимыми. Определим -простран-ство как множество из точек следующего вида:

Это определение -пространства эквивалентно приведенному выше; -пространство, порождаемое независимыми точками будем обозначать через

Задача 2.73. Найти все -пространства в

Решение. В данном случае -пространства являются гиперплоскостями и задаются одним линейным уравнением. С другой

стороны, выбор трех линейно независимых точек также задает -пространство, которое в этом случае представляет собой множество из четырех точек Всего имеется 14 различных -пространств:

Мы установили, что в существует 14 различных -пространств. Попробуем найти число различных -пространств в в общем случае.

Утверждение 2.74. Число различных -пространств в определяется следующей формулой:

Доказательство. Вначале определим число способов выбора точек порождающих -пространство Из множества всех точек точку можно выбрать способами. Исключив из множества всех точек точку точку можно выбрать способами. Так как точка не должна входить в то ее можно выбрать способами и т. д. Таким образом, число способов выбора точек равно

Однако Эти равенства показывают, что одно и то же -пространство имеет различные представления. Аналогично тому, как выше было подсчитано число способов выбора можно найти также и число способов представления одного фиксированного -пространства. Это число оказывается равным

Следовательно, искомое число различных -пространств определяется равенством

Как показывает пример евклидовой геометрии пересечение двух -пространств является либо прямой, либо пустым множеством. Для доказательства утверждения 2.76 потребуется следующее обобщение этого факта.

Утверждение 2.75. Два -пространства, содержащие некоторое -пространство, не имеют общих точек, отличных от точек этого -пространства.

Доказательство. Пусть линейно независимые точки, порождающие общее -пространство С, и пусть два различных -пространства, содержащих С. Предположим, что имеют общую точку которая не входит в С. Тогда точки задают одно -пространство, т. е. и мы получили противоречие.

Утверждение 2.76. Число различных -пространств в содержащих заданное -пространство, равно

Доказательство. Число точек, не принадлежащих рассматриваемому -пространству С, равно Любое -пространство задается линейно независимыми точками, одна из которых не принадлежит С, а остальные входят в С. Число точек -пространства, не являющихся точками С, равно Пусть число -пространств, содержащих С. Тогда, принимая во внимание утверждение 2.75, получаем

Конечные проективные геометрии. Как и в случае евклидовых геометрий, будем представлять точки (а точнее объекты, называемые точками) посредством координат. Конечную проективную геометрию, каждая прямая которой состоит из точек, будем обозначать через Конечная проективная геометрия состоит из конечного числа точек, каждая из которых может быть представлена своими координатами:

Однако в случае проективной геометрии это представление точки не однозначно, а именно считается, что последовательности определяют Одну и ту же точку. Следовательно, каждая точка в может быть представлена способами.

Последовательность в данном случае из рассмотрения исключается. Таким образом, число точек в равно

Пусть представления двух различных точек. Множество точек, которые могут быть представлены в виде

[, сочетание исключается], называется прямой, проходящей через точки (или -пространством) и обозначается через Поскольку пара может быть выбрана различными способами, то одна прямая состоит из

точек, на что и указывает параметр в обозначений проективной геометрии.

Пусть точка, не лежащая на прямой . Множество всех точек вида

где не равные одновременно нулю элементы поля называется плоскостью (или -пространством), проходящей через точки и обозначается через Каждая плоскость состоит из

точек.

Задача 2.77. Представьте в указанном выше виде. Решение. Так как размерность равна 2, то представляет собой проективную плоскость, состоящую из точек. В качестве представлений этих семи точек могут быть взяты следующие последовательности:

имеется семь прямых, каждая из которых состоит из трех точек:

На фиг. 2.2 показано расположение точек и прямых на плоскости.

Легко видеть, что проективная плоскость существует, если является простым числом или степенью простого числа. Если же составное число, не являющееся степенью простого числа, то о существовании проективной плоскости в общем случае ничего сказать нельзя. Известно, что проективная плоскость не существует, а вопрос о существовании является открытым.

В точно так же, как в -пространство может быть определено и как пересечение гиперплоскостей, и как совокупность линейных комбинаций линейно независимых точек.

Фиг. 2.2.

При этом гиперплоскость определяется как множество решений следующего уравнения первой степени:

(тривиальное решение ( исключается). Второе из указанных выше определений -пространсгва более строго может быть сформулировано следующим образом: -пространство — это совокупность всех линейных комбинаций линейно независимых точек следующего вида:

где элементы поля одновременно не равные нулю. Оба эти определения полностью эквивалентны.

Утверждение 2.78. Число -пространств в определяется формулой

Между существует тесная связь. Сопоставим точке из точку из

по следующему правилу:

Обратное отображение при задается формулой

Точки в называются бесконечно удаленными. При описанном выше соответствии -пространства переходят в -пространства.