7.6.4. Применения кодов в космических и спутниковых системах связи

а) Применение последовательного декодирования. Наиболее ранними работами, в которых начали рассматриваться применения последовательного декодирования в космических системах связи, являются работы Возенкрафта и Кеннеди [9], а также Джордана [10].

Фиг. 7.37. Декодер максимального правдоподобия для гауссовского канала связи.

Алгоритмам последовательного декодирования и вычислениям их характеристик в этой книге посвящена гл. 6. В данном разделе будут кратко описаны некоторые системы модуляции, используемые в сочетании с последовательным декодированием.

Рассмотрим систему связи, в которой передача последовательности двоичных информационных символов осуществляется блоками по символов в каждом. Каждому блоку из символов сопоставляется одна из последовательностей из сигналов, каждый из которых в свою очередь выбирается кодером из совокупности ортогональных сигналов Для каждого ортогонального сигнала модулятор формирует сигнал который передается по каналу к приемнику. При приеме, как показано на фиг. 7.37, с помощью фильтров, согласованных с ортогональными сигналами, осуществляется декодирование принятого сигнала по максимуму правдоподобия. Так как выход системы согласованных фильтров представляет собой совокупность действительных величин,

то его можно представить в виде вектора Таким образом, входом рассматриваемого канала являются символы из конечного алфавита, а выходом — действительных величин. С выходов фильтров эти действительные величины подаются на входы решающего устройства, с помощью которого они вновь преобразуются в дискретные сигналы, поступающие далее на вход декодера. Простейшим решающим устройством является устройство выделения сигнала, имеющего наибольшую апостериорную вероятность. На выходе решающего устройства появляется последовательность двоичных символов.

Как было показано в гл. 6, поведение алгоритмов последовательного декодирования определяется значением Найдем Для описанной выше системы модуляции. По определению

где вероятность передачи по каналу ортогонального сигнала -условная плотность распределения вектора при условии передачи по каналу ортогонального сигнала. Если предположить, что при фиксированном входе выходы согласованных фильтров являются статистически независимыми, то

где — плотность распределения вероятностей на выходе фильтра, соответствующего передаваемому сигналу, а плотность распределения вероятностей на остальных выходах. Подставляя выражение (7.46) в (7.45), после несложных преобразований для получаем следующую формулу:

Максимум в правой части (7.47) достигается при Подставляя эти значения в формулу

(7.47), находим

При последнее выражение принимает следующий вид:

Далее предположим, что шум в канале является гауссовским и при приеме осуществляется синхронизация фазы. Оптимальный приемник содержит совокупность показанных на фиг. 7.37 согласованных фильтров, с выходов которых берется отсчет в момент окончания передачи каждого ортогонального сигнала. Плотность распределения вероятностей сигнала на выходе фильтра, на который поступают сигнал и шум, и плотность распределения вероятностей сигнала на выходе фильтра, на который поступает только шум, имеют соответственно следующий вид:

где

Подставляя эти выражения в формулу (7.49), для вычислительной скорости в гауссовском канале получаем выражение

Зависимость от показана на фиг. 7.38. Если с помощью фиг. 7.38 и формулы (7.31) найти и взять достаточно большое значение то также можно сделать достаточно большим. В пределе при имеем

Это асимптотическое значение также показано на фиг. 7.38.

Установив таким образом связь между вероятностью ошибки и вероятностью переполнения буфера, можно оценить характеристики системы связи с последовательным декодированием.

б) Система модуляции с противоположными сигналами. Одной из систем модуляции, используемых в космических системах связи, является система модуляции с противоположными сигналами, получаемыми путем инверсии фазы. Сравним для этой модуляции характеристики систем с ортогональными кодамк и систем, в которых используются алгебраические коды. Для этого рассмотрим систему связи, в которой используются модуляция с инверсией фазы и канал с шириной полосы по которому каждые секунд передается один из возможных сигналов. Предположим, что интервал времени длительностью секунд, выделенный для передачи одного сигнала, разбивается на подынтервалов длительностью секунд, каждый из которых используется для передачи одного двоичного символа 0 или 1.

Фиг. 7.38. Вычислительная скорость при синхронном приеме и

По каналу для представления символов передается один из следующих двух сигналов длительностью секунд:

где у — некоторое неотрицательное целое число. Для реализации этого метода передачи фаза несущей с помощью модулятора изменяется на ±90°.

Предположим, что при приеме о каждом принимаемом символе выносится независимое решение. Обозначим через вероятность того, что переданный кодовый блок принят правильно, через вероятность того, что переданный кодовый блок принят неправильно, через вероятность ошибки в отдельном символе и через эквивалентную вероятность ошибки декодирования на символ, которая вычисляется по так, как было описано в

предыдущем разделе. Витерби [21] определяет вероятность ошибки для ортогональных кодов (у которых кодовые блоки попарно ортогональны) и вероятность ошибки в системе без кодирования следующим образом:

А. Вероятность ошибки для ортогональных кодов

где

Б. Вероятность ошибки в системе без кодирования

При передаче блока из двоичных символов

где

Эквивалентная вероятность ошибки на символ при использовании алгебраических кодов определяется равенством (7.37). Однако для нахождения входящей в формулу (7.37) вероятности ошибки в отдельном символе в формулу (7.58) необходимо внести поправку, поскольку из-за расширения полосы шум возрастает в раз. В этом случае

а полоса характеризуется параметром

Таким образом,

На фиг. 7.39 показана зависимость вероятности ошибки от для систем связи, в которых используются (127, 120, 1), (127, 114, 2), (127, 106, 3) и -БЧХ-коды, длины для систем связи без кодирования, для систем связи с ортогональными кодами той же длины

и для систем связи с ортогональными кодами при В случае при второй член в формуле (7.35) составляет лишь 4,3%, а при лишь 0,4%. В этой области вероятностей ошибок аппроксимация посредством первых членов их разложений (7.35) и (7.37) дает ошибку не более 1%.

Фиг. 7.39. Зависимость вероятности ошибки на символ от

Как видно из фиг. 7.39, при использовании кодов, исправляющих небольшое число ошибок заданную вероятность ошибки можно достичь при меньших значениях Выигрыш в отношении обычно выражают в децибелах и называют выигрышем от кодирования. Для вероятностей и

порядка значения выигрыша от кодирования и необходимой для этого ширины полосы приведены в табл. 7.2. Как видно из этой таблицы, при использовании алгебраических кодов при незначительном увеличении ширины полосы выигрыш от кодирования составляет 2-3 дБ.

Таблица 7.2 (см. скан) Выигрыш от кодирования и необходимая ширина полосы

Зависимость вероятности ошибки от отношения при использовании БЧХ-кодов показана также на фиг. 7.40 и 7.41.

Приведенные графики хорошо иллюстрируют взаимосвязь модуляции и кодирования. Для систем без кодирования графики вероятности ошибки были построены в предположении, что при передаче отсутствуют интерференция между словами и другие линейные искажения. При этом предположении поведение кривых вероятности ошибки определяется системами модуляции (в узком смысле) и выделения сигналов. При наличии искажений кривые вероятности ошибки смещаются вверх по отношению к кривой вероятности ошибки для системы без кодирования. Различные методы подавления искажений применяются для того, чтобы приблизить, насколько это возможно, реальную кривую вероятности ошибки к идеальной кривой системы без кодирования. В то же время введение помехоустойчивого кодирования позволяет достичь вероятностей ошибок, лежащих ниже кривой вероятности ошибки системы без кодирования. Сложность аппаратурной реализации кодов с алгебраическим декодированием обычно возрастает линейно или как небольшая степень длины кода

Приведенные на фиг. 7.39 графики вероятности ошибки для важной с практической точки зрения области значений отношения сигнал/шум почти совпадают, но обычно бывает задан нижний предел числа информационных символов, и интерес представляет поведение вероятности ошибки при увеличении числа проверочных символов. Рассмотрим возможность использования в системах космической связи последовательностей максимальной длины, занимающих в теории кодирования особое положение, а также очень похожих на них равномерных сверточных кодов, введенных в гл. 5.

Совокупность последовательностей максимальной длины является линейным -кодом, имеющим максимально возможное для своей длины минимальное расстояние. Поэтому эти коды так же, как и ортогональные коды, дают представление о предельных возможностях алгебраических кодов с малой скоростью передачи.

Фиг. 7.40. (см. скан) Зависимость вероятности ошибки на символ от

Как известно, при отношение для ортогональных кодов стремится к Если при приеме решение о каждом переданном символе принимается независимо, то, как следует

из формулы (7.61), вероятность

стремится к

Фиг. 7.41. (см. скан) Зависимость вероятности ошибки на символ от

В этом случае, согласно закону больших чисел, с вероятностью, близкой к 1, число ошибок в блоке длины равно однако код, состоящий из последовательностей максимальной длины, исправляет только ошибок. Следовательно, при вероятность ошибки на блок

стремится к 1. Для того чтобы достичь вероятности ошибки необходимо, чтобы выполнялось условие Это условие может выполняться лишь в том случае, если

т. е. если отношение удовлетворяет следующему неравенству:

Последнее неравенство показывает, что при отношение также должно стремиться к бесконечности.

Анализ равномерных сверточных кодов из-за характерного для них явления распространения ошибок оказывается более сложным. Однако поскольку эти коды являются -кодами, то для достижения вероятности ошибки необходимо, чтобы выполнялось следующее неравенство:

Далее для сравнения рассмотрим БЧХ-коды с малой скоростью передачи. Примитивные БЧХ-коды имеют длину и, как следует из границы для БЧХ-кодов, при наличии проверочных символов они могут исправлять и менее ошибок. При примитивные БЧХ-коды являются -кодами. Для того чтобы с помощью этих кодов можно было достичь вероятности ошибки необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Это неравенство в свою очередь может выполняться лишь в случае, если

Однако, как легко видеть, при левая часть (7.67) стремится к т. е. неравенство (7.67) не выполняется. Таким образом, и для этих кодов в пределе также необходимы бесконечно большие значения

Неравенства (7.65) и (7.67) при больших значениях имеют хорошие приближенные решения; поведение этих решений при малых а также при показано на фиг. 7.42. Как видно из фиг. 7.42, во всех рассмотренных выше случаях отношение при Это связано с тем, что выражение входящее в аргумент функции в формулах (7.65)

и (7.67), стремится к нулю при что в свою очередь объясняется тем, что при приеме решение о каждом переданном символе принимается независимо.

Применения кодов, исправляющих ошибки, в системах космической связи достаточно многообразны, но что касается систем, рассмотренных выше, то следует заметить следующее. Посимвольное принятие решений и использование алгебраических кодов дают выигрыш 2-3 дБ. Для того чтобы достичь большего выигрыша, необходимо использовать ортогональные сигналы или последовательное декодирование.

Фиг. 7.42. Отношение при котором

Однако при использовании тогональных сигналов сложность устройств растет экспоненциально в зависимости от длины блока, тогда как при использовании последовательного декодирования теоретически сложность устройств прямо пропорциональна длине кодового ограничения. Поэтому в реальных космических системах связи наиболее целесообразным представляется использование алгебраических кодов или кодов, допускающих последовательное декодирование, в сочетании со сравнительно небольшим числом ортогональных сигналов.