2.6. Дополнительные сведения о конечных полях

2.6.1 Вычисления в конечных полях

В конечных полях, как обычно, можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Задача 2.65. Решить следующую систему уравнений над :

(Следует воспользоваться таблицей соответствия из задачи 2.59.)

Решение. Используем метод подстановки. Из первого уравнения находим подставляя его во второе уравнение, получаем

Для решения указанной выше системы уравнений можно воспользоваться также методом Крамера:

Утверждение 2.66. Пусть — произвольный ненулевой элемент поля Если существует такой элемент что то а называется квадратичным вычетом.

В противном случае, т. е. если в не существует такого элемента что называется квадратичным невычетом.

1) Если то любой элемент поля, за исключением элемента 0, является квадратичным вычетом.

2) Если нечетное число, то четные степени примитивного элемента являются квадратичными вычетами, а нечетные степени — квадратичными невычетами (следовательно, имеется квадратичных вычетов и столько же квадратичных невычетов).