7.4. Различные предположения, используемые в теории кодирования

Рассмотрим здесь различные предположения, используемые в теории кодирования. В теории кодирования применяются главным образом алгебраические методы, в частности теория Галуа,

и это позволило достаточно быстро достичь значительных успехов. При этом некоторые проблемы, для решения которых алгебраические методы применить было трудно, остались в значительной степени нерешенными. Возможность решения алгебраическими методами одних проблем и трудности решения других не менее важных проблем оказали существенное влияние на формирование теории кодирования. Для того чтобы можно было применить алгебраические методы, в теории кодирования вводились различные предположения, что ограничивало область применения полученных результатов. Знание этих предположений очень важно для понимания взаимосвязи теории кодирования с теми реальными проблемами, которые она призвана решать.

7.4.1. Дискретные величины

В теории кодирования подлежащая передаче, хранению или какой-либо обработке информация обычно представляется в виде последовательностей целых чисел, в частности в простейшем случае в виде последовательностей символов 0 и 1. Поэтому при изучении передачи информации в теории кодирования рассматриваются лишь дискретные каналы. Чтобы коды, исправляющие ошибки, можно было применить в реальных непрерывных каналах, непрерывные величины с помощью аналого-цифровых преобразователей должны преобразовываться в дискретные величины.

7.4.2. Методы принятия решений

Предположим, что для передачи символов 0 и 1 используются прямоугольные импульсы длительности единиц времени с амплитудами соответственно При передаче по каналу с аддитивным гауссовским шумом эти символы искажаются и на вход приемника поступают символы, имеющие случайную амплитуду. В качестве решающего элемента при приеме может использоваться пороговый элемент с порогом 0, который классифицирует принятый импульс как 0, если его амплитуда меньше нуля, и как 1, если амплитуда больше нуля. Такой способ принятия решения о переданном символе называется жестким. Кроме того, существует также так называемый мягкий способ принятия решений, когда решающий элемент имеет два порога и , как показано на фиг. 7.32, б. При этом выход решающего элемента принимает значение 1, если амплитуда принятого импульса больше значение 0, если амплитуда принятого импульса меньше , и решающий элемент не принимает никакого решения относительно 0 и 1, если амплитуда импульса находится между и При этом, кроме ошибок типа

переход символа 1 в символ 0 или наоборот, могут возникать также так называемые стирания, когда решающий элемент решения о переданном символе не принимает. В этом случае на выходе решающего элемента формируется так называемый символ стирания. При передаче последовательности символов место возникновения ошибок типа переход символа 1 в 0 или наоборот априори неизвестно. В то же время положение стираний при приеме известно, а поэтому исправить их оказывается значительно проще, чем исправить ошибки. Поскольку в канале с аддитивным гауссовским шумом стираний возникает значительно больше, чем ошибок, то путем использования мягкого способа принятия решений можно упростить процесс исправления ошибок в целом.

Далее рассмотрим случай, когда описанные выше импульсы передаются по каналу блоками по К импульсов в каждом, но о каждом отдельном переданном символе принимается жесткое решение, не зависящее от других принятых импульсов.

Фиг. 7.32. Импульсы 1 и 0 и значения порогов.

Предположим, что шум в канале является аддитивным и гауссовским. Обозначим через вероятность возникновения ошибки в отдельном символе. Тогда вероятность того, что в принятом блоке нет ни одной ошибки, равна и убывает с ростом К-Это связано с тем, что при увеличении К расстояние между «соседними» сигналами остается постоянным, равным (фиг. 7.33, а), а число соседних сигналов возрастает пропорционально в результате вероятность возникновения ошибки по крайней мере в одном из передаваемых символов возрастает. В данном случае для передачи одного блока используется энергия, равная а число сигналов равно

Далее рассмотрим систему связи с ортогональными сигналами длительности сигнал представляет собой положительный начинающийся в момент импульс длительности с энергией который используется для передачи блока из двоичных символов, представляющего двоичную запись его номера (фиг, 7.33,б). Такие сигналы

используются, например, в системах с время-импульсной модуляцией (ВИМ). Один из описанных выше сигналов при показан на фиг. 7.33, б. Как видно из фиг. 7.33, в, расстояние между соседними сигналами (в данном случае все сигналы являются соседними) равно Поскольку здесь с ростом К число соседних сигналов растет как а расстояние между сигналами — как то при достаточно больших значениях отношения сигнал/шум ошибку между блоками можно сделать сколь угодно малой, выбрав достаточно большое К.

Фиг. 7.33. Расстояние между блоками.

Таким образом, при наличии ограничений лишь на среднюю мощность методы передачи, когда при приеме решение принимается о переданном блоке в целом, позволяют достичь лучших результатов, чем методы передачи, при использовании которых двоичные символы передаются независимо и при приеме решение о каждом из них принимается независимо.

Как показывают приведенные выше примеры, методы принятия решения о символах существенно влияют на вероятность ошибки в символе и посредством этого они связаны с методами исправления ошибок. Многообразие методов принятия решений приводит к многообразию методов исправления ошибок в теории кодирования. Однако в теории кодирования, как правило,

предполагается, что метод принятия решения является жестким и лишь часть получающихся результатов обобщается на системы с исправлением ошибок и стираний.