173. Теоремы Вейерштрасса.

С помощью доказанной теоремы прежде всего может быть установлена для функций двух переменных 1-я теорема Вейерштрасса:

Теорема. Если функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области то функция ограничена, т. е. все ее значения содержатся между двумя конечными границами:

Доказательство (от противного) вполне аналогично рассуждению п° 84. Пусть функция при изменении оказывается неограниченной. Тогда для любого найдется в такая точка что

По теореме п° 172, из ограниченной последовательности можно извлечь частичную последовательность сходящуюся к предельной точке

Отметим, что эта точка М необходимо принадлежит области Действительно, в противном случае точки все были бы от нее отличны, и точка М была бы точкой сгущения области ей не принадлежащей, что невозможно ввиду замкнутости области [см. 163].

Вследствие непрерывности функции в точке М должно быть

а это находится в противоречии с (7).

2-я теорема Вейерштрасса формулируется и доказывается (с ссылкой на предыдущую теорему) совершенно так же, как и в 85.

Заметим, что без существенных изменений в рассуждениях - обе теоремы Вейерштрасса переносятся и на случай, когда функция непрерывна в любом ограниченном замкнутом множестве (хотя бы и не представляющем собою области).

Как и в случае функции одной переменной, для функции определенной и ограниченной в множестве разность между точными верхней и нижней границами значений функции в называется ее колебанием в этом множестве. Если ограничено и замкнуто (в частности, еслие есть ограниченная замкнутая область), и функция в нем непрерывна, то колебание есть попросту разность между наибольшим и наименьшим ее значениями.