103. Измеримые множества.

Мы не будем вводить понятия внутренней меры, как это мы делали в теории меры Жордана, а с помощью открытых множеств непосредственно перейдем к понятию измеримого множества (аналог квадрируемости по Жордану). Свойство, выражаемое теоремой 3, имеет место для всякого множества Е. Но не для всякого множества Е внешняя мера разности соответствующим выбором О может быть сделана где задано. Если Е обладает таким свойством, то мы будем называть его измеримым.

Определение. Множество Е называется измеримым, если при любом заданном существует такое открытое множество О, что е.

Внешнюю меру измеримого множества Е будем называть просто мерою Е и обозначать символом . Переходим к выяснению свойств измеримых множеств. Отметим, что пустое множество считается измеримым и его мера — равной нулю. Прежде всего возникает вопрос будет ли всякий квадрат или прямоугольник (открытый или замкнутый) со сторонами, параллельными осям, измеримым множеством, и если это так, то чему равна его мера. Не останавливаясь на доказательстве, сформулируем результат.

Теорема 4. Множество точек замкнутого или открытого прямоугольника со сторонами, параллельными осям, есть измеримое множество и его мера равна произведению длин его сторон.

Теорема 5. Открытые множества измеримы.

Если - открытое множество, то для проверки его измеримости достаточно взять О совпадающим с , и при этом

Теорема 6. Если , то Е — измеримое множество и Если Е — измеримое множество и то

Если то, согласно теореме 3, для любого заданного существует такое О, что и , а потому, силу теоремы 1, тем более , т. е. Е измеримо и ибо совпадает, по определению, с внешней мерой. Наоборот, если Е измеримо и то и Теорема доказана.

В силу доказанного измеримое множество Е меры нуль, или, как обычно говорят, множество Е меры нуль, определяется следующим свойством: при любом заданном можно покрыть Е конечным или счетным числом квадратов, сумма площадей которых е.

Теорема 7. Сумма конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество.

Пусть измеримые множества, Е — их сумма и число. Согласно определению измеримого множества, существуют такие открытые множества что

Сумма есть некоторое открытое множество О и . Но для любых множеств легко проверить, что

Применяя это к и имеем

Пользуясь теоремами 1 и 2, получаем

и в силу

что и доказывает измеримость Е.

Теорема 8. Замкнутые множества измеримы.

Не приводя довольно сложного доказательства этой теоремы, сформулируем еще лемму, на которой оно основано [V, 36].

Лемма. Если расстояние между двумя множествами положительно, то

Теорема 9. Если Е — измеримое множество, то и СЕ измеримо,

В силу измеримости Е существуют такие открытые множества что Введем замкнутые множества Из следует и в силу (4) из [03] имеем . Заменяя в левой части на сумму получим

откуда

Левая часть не зависит от , а правая стремится к нулю при и, следовательно,

т. е. разность, стоящая слева, есть множество меры нуль. Поскольку , мы имеем

и из теоремы 7 и 8 следует, что СЕ — измеримое множество.

Следствие. Из измеримости СЕ следует измеримость

Следующая теорема дает критерий измеримости Е не через открытые множества, покрывающие Е (определение измеримых множеств), а через замкнутые множества, содержащиеся в Е.

Теорема 10. Для того чтобы множество Е было измеримым, необходимо и достаточно следующее: при любом заданном существует такое замкнутое множество что

Измеримость Е равносильна измеримости , а для этого необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного существовало такое открытое множество О, что Если положить и принять во внимание, что, в силу (4) из , то можно переписать в виде ибо . Теорема доказана.

Теорема 11. Произведение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Разность измеримых множеств есть измеримое множество.

Если - измеримые множества, то измеримость их произведений вытекает из формулы [93]:

и теорем 9 и 7. Измеримость разности следует из очевидной формулы и измеримости произведения.

Теорема 12. Мера суммы конечного или счетного числа измеримых множеств попарно без общих точек равно сумме мер слагаемых множеств.

Пусть измеримые множества попарно без общих точек. Измеримость их суммы следует из теоремы 7. Проведем доказательство при предположении, что все ограничены, но их число бесконечно. Согласно теореме 10 при любом заданном существуют такие замкнутые множества что . Множества очевидно, ограничены и не имеют попарно общих точек. Из формулы непосредственно следует

Для конечной суммы имеем по теореме 1:

Применяя лемму к сумме и пользуясь (34), получим

откуда при

или, ввиду произвольности ,

Сравнивая с неравенством (31), получаем

или, в силу измеримости слагаемых и суммы,

Свойство, выражаемое теоремой 12, называется обычно полной аддитивностью меры Лебега. Прилагательное «полный» выражает тот факт, что аддитивность меры имеет место не только для конечного, но и для счетного числа множеств, не имеющих попарно общих точек. Таким свойством не обладает мера Жордана.

Замечание. Отметим, что из теорем 2 и 6 следует, что сумма конечного или счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. При этом не предполагается, что слагаемые множества попарно без общих точек.

Теорема 13. Если А и В измеримы, — конечной меры, то .

Разность измерима по теореме 11. В силу имеем причем без общих точек и, следовательно, Вычитая почленно , получаем .

Приведем еще два результата, касающиеся предельного перехода для множеств. Пусть невозрастающая последовательность измеримых множеств, т. е. Пределом при назовем произведение всех

Множество Р может быть и пустым. Множество состоит, очевидно, из элементов (точек) Р и тех элементов, которые входят в какое-либо а, следовательно, и во все при но не входят в Мы можем, таким образом, представить в виде следующей суммы множеств, не имеющих попарно общих точек:

откуда

и из этой формулы непосредственно следует

Отметим одно следствие полученной формулы. Пусть имеется бесконечная сумма измеримых множеств: положим . Последовательность не возрастает, и предельное множество R пусто. Действительно, если предположить, что имеется точка М, принадлежащая R, т. е. всем то отсюда следует, что М принадлежит Е, но не принадлежит ни одному из а это противоречит тому, что Е есть сумма Таким образом, мы можем утверждать, что при Если неубывающая последовательность измеримых множеств СИ — то предельным множеством S называется сумма всех и нетрудно показать, что

Вся изложенная выше теория меры легко переносится на случай прямой и -мерного пространства Отметим, что в случае прямой всякое открытое множество есть сумма конечного или счетного числа открытых промежутков. Как и для меры Жордана, можно показать, что мера Лебега не зависит от выбора осей координат.

Приведем некоторые замечания, связанные с теорией меры. Введем полуоткрытые квадраты, определяемые неравенствами: и нанесем на плоскости сетку таких квадратов. Они не имеют попарно общих точек. Пусть О — некоторое ограниченное открытое множество. Отметим те квадраты, которые входят в О (их конечное число). Каждый из оставшихся квадратов поделим на четыре равные части и отметим те из полученных квадратов, которые входят в О, и т. д. Поскольку расстояние любой точки О до ее границы положительно, всякая точка О попадает в один из отмеченных квадратов, т. е. О есть сумма счетного числа полуоткрытых квадратов, а мера О равна сумме площадей этих квадратов. Отсюда видно, что мера Лебега множества О совпадает с внутренней мерой Жордана. Если присоединить к множеству О его границу то получим замкнутое множество. Оно измеримо по Лебегу, но его мера может быть больше меры О.

Если F — ограниченное замкнутое множество, то мы можем покрыть его открытым квадратом О и разность есть открытое множество, причем Таким образом, мера F определяется через меры открытых множеств.