Глава 8. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

8.0. ВВЕДЕНИЕ

Методы множественной линейной регрессии, которые мы обсуждаем, могут быть очень полезными, но также и очень опасными, если они неверно используются или интерпретируются. Прежде чем приступать к большой задаче с применением методов множественной регрессии, имеет смысл, насколько это возможно, предварительно спланировать всю работу применительно к конкретной цели и наметить контрольные мероприятия, проводимые по ходу дела. Такое планирование будет предметом данной главы. Прежде, однако, мы обсудим три основных типа математических моделей, часто используемые в науке:

1. Функциональная модель.

2. Модель для управления.

3. Модель для предсказания.

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

Если в некоторой задаче известна «истинная» функциональная связь между откликом и предикторами, то экспериментатор в силах понять и предсказать отклик, да и управлять им 1. Однако в жизни редко встречаются ситуации, когда можно предложить подобную модель. Но даже и в этих случаях функциональные уравнения обычно очень сложны, трудны для понимания и применения и имеют чаще всего нелинейный вид. В наиболее сложных случаях может потребоваться численное интегрирование таких уравнений. Примеры нелинейных моделей упоминались в гл. 5, а их построение будет обсуждаться в гл. 10. Для таких моделей линейные регрессионные методы неприменимы или применимы только для аппроксимации истинных моделей в итеративных процедурах оценивания.

Модель для управления

Функциональная модель, даже если она известна полностью, не всегда пригодна для управления выходной переменной (откликом). Например, в задаче про пар, используемый на заводе, одна из наиболее важных переменных — наружная температура, а она

неуправляема в том смысле, в каком управляемы температура, давление и другие факторы процесса. Или еще: специалист по рекламе, желающий оценить влияние на продажу товаров его фирмы рекламных передач по телевидению, вполне сознает важность для любой функциональной модели сбыта такого фактора, как активность конкурентов. Однако эту активность определяют неуправляемые переменные, независимо от того, как они входят в функциональную модель. Для управления откликом нужна такая модель, которая содержит факторы, подконтрольные экспериментатору.

Модель, полезную для управления, можно построить методами множественной регрессии, если они применяются корректно. Когда возможно использование планирования экспериментов для управляемых переменных, влияние этих переменных на отклик при применении множественной регрессии можно найтн подобно тому, как рассматривается в гл. 9. Однако есть ситуации, в которых планирование эксперимента невозможно. Например, условия эксперимента, проводимого на действующей промышленной установке, обычно нарушаются изо дня в день, и если не компенсировать достаточно хорошо возможные в результате этого изменения в измеряемом отклике, то такой эксперимент не будет показателен. Еще пример: эксперимент, проводимый на рынке, может быть спланирован и обработан, но неуправляемые факторы (хотя и известные) будут делать любые вычисленные математические эффекты управляемых факторов настолько запутанными, что результаты станут бесполезными. Эти ситуации вынуждают практиков применять модели для предсказания.

Модели для предсказания

Когда функциональная модель очень сложна и когда возможности для получения независимых оценок эффектов ограничены, часто удается построить линейную предсказывающую модель, которая хотя в некотором смысле и нереалистична, но по крайней мере воспроизводит основные черты поведения изучаемого отклика. Такая предсказывающая модель весьма полезна и при определенных условиях может вести к реальному проникновению в процесс или проблему. При построении предсказывающих моделей такого типа методы множественной регрессии оказываются наиболее ценными. Эти задачи обычно упоминаются как «задачи с неупорядоченными данными», т. е. данными, среди которых много коррелированных между собой. Модель для предсказания не обязательно функциональна и не обязательно полезна для управления, что вопреки мнению некоторых ученых вовсе не делает ее бесполезной. Опираясь на нее, если нет

ничего лучшего, можно выбрать и линию поведения для дальнейшего экспериментирования, уточнив важные переменные, и, что очень полезно, отсеять несущественные переменные.

Вместе с тем применение множественной регрессии требует особой осторожности, чтобы избежать непонимания и неверных выводов. Организация схемы для решения задач с помощью методов множественного регрессионного анализа не только полезна, но и необходима.

Рис. 8.1. Блок-схема процедуры построения модели

Эта глава — только план, а любое использование предложенной или подобной схемы будет требовать специальной «настройки» на конкретную ситуацию.

Хотя приведенный ниже план предназначен для разработки предсказывающей математической модели, он является достаточно общим; им можно воспользоваться при построении как функциональных, так и управляющих моделей. Особое внимание обратим на задачи с «неуправляемыми данными». Схема делится на три стадии — планирование, разработку и использование. Блок-схема приведена на рис. 8.1, и в дальнейшем она будет детально обсуждена.