10.8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ: ДРУГИЕ РАБОТЫ

После ознакомления с методами оценивания параметров нелинейной модели можно уделить внимание другим проблемам. Обсудим кратко некоторые важные вопросы и укажем источники, содержащие более подробную информацию.

Планирование экспериментов в нелинейном случае

Источник. Box G. Е. P., Lucas Н. L. Design of experiments in nonlinear situations.- Biometrika, 1959, 46, p. 77-90.

Если метод линеаризации применяется для оценивания параметров нелинейной модели, то мы приходим к итеративной формуле

позволяющей получить Можно показать, что приближенная доверительная область (см. с. 207) для 0 на этой итерации имеет объем, пропорциональный Следовательно, если рассмотреть наилучший план, представляющий собой наилучший набор опытов, подлежащих выполнению, то это будет План, который минимизирует объем доверительной области или максимизирует определитель матрицы

Как реализовать эту идею на практике?

Если никакие опыты еще не проводились, то выбираем такой набор из опытов (предполагается, что задано), который максимизирует (когда имеется несколько планов на выбор, выбираем из них тот, которому отвечает наибольшее значение

Если уже выполнено опытов и предстоит выбрать опыт, то можно записать как функцию условий опыта и максимизировать по отношению к условиям опыта.

В общем случае эта максимизация выполняется численно на ЭВМ. Аналитическое решение возможно лишь в простых случаях.

Пример. Даны исходные значения параметров и модель

Надо выбрать два опыта, отвечающие значениям которых достигает максимума.

Дифференцируя по и подставляя в полученные выражения получим:

Следовательно,

Затем, поскольку здесь можно записать Таким образом, в данном конкретном случае задача свелась к максимизации абсолютного значения величины

Можно показать, что максимум достигается при ; это и есть наш план. Теперь можно найти значения У при этих двух значениях предикторов и перейти к оцениванию начиная с исходных оценок (0,7; 0,2). Примеры, связанные с планированием опыта при уже выполненных опытах, можно найти в работе: Вох G. Е. P., Hunter W. G. Sequential design of experiment for nonlinear models.- Proceedings of the IBM Scientific,Computing Symposium on Statistics, 1963, October 21-23, p. 113-137.

Когда уже имеется экспериментов, экспериментатор обращается к компьютеру для проведения операций с моделью, данными и текущими оценками параметров.

Компьютер позволяет получать:

1. Новые МНК-оценки параметров.

2. Наилучшие условия для проведения следующего эксперимента.

3. Информацию об устойчивости наилучших условий.

4. Другие величины, представляющие определенный интерес, например, дисперсии и ковариации оценок параметров.

Полезная методика построения моделей

Источник. Предположим, что нужно подогнать модель

Пусть набор предикторных переменных, которые не входят в данную модель. Обозначим некоторый набор значений этих переменных через Предположим, что при каждом из этих наборов выполнено несколько различных опытов с вариацией значений причем такой, что можно найти оценки параметров для каждого из наборов величин Составим следующую таблицу:

Можно ожидать, что каждый столбец будет «устойчивым», т. е. его элементы окажутся практически постоянными, если переменные никак не влияют на отклик. Отсюда вытекает способ проверки того, зависит ли функция отклика от переменных. Для этого надо построить регрессию столбцов по отношению к наборам и проверить, получились ли какие-либо коэффициенты регрессии значимыми, т. е. нужно подогнать модель

или

где — полный блок переменных X, указанный выше. Если оцениваемый коэффициент при значимо отличается от нуля, мы заключаем, что параметр зависит от переменной и, следовательно, переменная должна присутствовать в исходной модели. (Так должно быть и с любой другой переменной X, имеющей значимые коэффициенты.) Другими словами, исходная модель в неадекватна, и необходимо ее пересмотреть (см. рис. 10.22).

Примеры применения подобной методики, когда переменные X варьировались по схеме дробного факторного эксперимента типа или полного факторного эксперимента, приводятся в работах:

1. Hunter W. G., Mezaki R. A model-building technique for chemical engineering kinetics.- Am. Inst. Chem. Eng. J., 1964, 10, p. 315-322 (обратите внимание на ошибку в тексте под табл. 4 на с. 320; если бы шестой остаток был положительным (а он как раз отрицателен), то картина была бы очевидной, здесь же требуется дальнейшее исследование).

Рис. 10.22. Диаграмма адаптивной процедуры построения модели. Переработана на основе статьи: Box С. Е. P., Нuntег W. G.- Technometrics, 1962, 4, р. 302.

2.    Вох G. Е. P., Hunter W. G. A useful method of model building.— Technometrics, 1962, 4, p. 301—318.

Многомерные (векторные) отклики

Источники: Box G. E. P., Draper N. R. The Bayesian estimation of common parameters from several responses.- Bio-metrika, 1965, 52, p. 355-361; Erjavec J., Box G. E. P., Hunter W. G., Mac Gregor J. F. Some problems associated with the analysis of multiresponse data.- Technometrics, 1973, 15, p. 33-51. В некоторых ситуациях может одновременно наблюдаться несколько переменных откликов, а модели, соответствующие этим откликам, могут содержать некоторую часть или все одинаковые параметры. Хорошим примером для такого случая служит многооткликовая модель (в данном случае — трехоткликовая), описывающая последовательную мономолекулярную реакцию, в которой вещество А превращается в В, а вещество В превращается в С:

Как видно, все отклики зависят от одной предикторной переменной — времени отклик зависит от одного, а отклики от двух параметров Заметим, что здесь однако соответствующие наблюдения для могут быть и независимыми, т. е. их сумма не обязательно равна 1 из-за случайных ошибок наблюдения. В таком случае подходящий способ оценивания параметров состоит в минимизации детерминанта матрицы где

по отношению к этим параметрам. Элементами указанной матрицы, как видно, служат суммы квадратов и суммы смешанных произведений отклонений соответствующих экспериментальных значений откликов от иеличин определяемых с помощью моделей.

Использование этого критерия для оценивания может привести к трудностям, если один или несколько откликов определяются арифметически, исходя из других измеренных непосредственно откликов. В нашем примере это может иметь место, если, например, являются фактически измеряемыми откликами, тогда как отклик находится как разность, т. е. Способы обнаружения подобных ситуаций и рекомендации по тому, что надо в таких случаях делать, указаны во второй из приведенных выше работ 33.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Ответы к упражнениям

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)