10.3. ПРИМЕР

Рассматриваемый пример взят из исследования, выполненного Проктером и Гемблом и описанного в работе: Smith Н., Dubey S. D. Some reliability problems in chemical industry.- Industrial Quality Control, 1964, 21 (2), p. 64-70. Проиллюстрируем на этом примере, как можно получить решение задачи нелинейного оценивания решая системы нормальных уравнений непосредственно или с помощью метода линеаризации. Мы не приведем пример использования метода наискорейшего спуска; при желании с таким примером можно познакомиться в работе: Box G. Е. Р., Соutiе G. А. Application of digital computers in the exploration relationships.- Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, 1956, 103, Part B, Supplement N1, p. 100-107. He будем иллюстрировать примером и компромиссный метод Маркуардта.

Исследуется качество продукта А, который должен содержать в момент производства не менее активного хлора. Содержание активного хлора в продукте со временем понижается. Известно, также, что к восьмой неделе хранения происходит снижение содержания активного хлора до Поскольку изучаемый процесс подвержен воздействию многих неконтролируемых факторов (таких, как, скажем, условия хранения на складе и др.), теоретическое предсказание ожидаемой доли активного хлора в продукте к заданному сроку хранения оказывается ненадежным. Руководству нужно решить: 1) когда материал на складе должен уничтожаться, 2) когда следует заменять запасы сырья. Чтобы обосновать такое решение, ящики с продуктом анализировались на содержание активного хлора в течение некоторого времени. Полученные данные представлены в табл. 10.2

Таблица 10.2 Процент активного хлора в продукте

(Заметим, что продукт выпускается партиями раз в две недели, а кодированные данные соответствуют номеру недели года. Предсказанные значения, приведенные в таблице, вычислены с помощью аппроксимирующего уравнения, к получению которого мы теперь приступим.) Было постулировано, что нелинейная модель имеет вид

и что она пригодна для объяснения вариаций, наблюдаемых в экспериментальных данных при Эта модель без учета ошибки дает истинное значение когда Кроме того, она учитывает также соответствующий характер колебаний концентрации

активного хлора. Дополнительная информация, которая согласуется с представлениями химика, заключается в том, что при достижении равновесия концентрация активного хлора доходит до 30 %. Задача сводится к нахождению оценок параметров нелинейной модели (10.3.1) на основе данных из таблицы. Сумма квадратов отклонений для этой модели может быть выражена формулой

где соответствующие пары наблюдений из таблицы (например, ).