6.3. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ

Метод исключения более экономичен, чем метод всех регрессий, поскольку в нем делается попытка исследовать только наилучшие регрессионные уравнения, содержащие определенное число переменных 4. Основные шаги этого метода сводятся к следующему.

1. Рассчитывается регрессионное уравнение, включающее все переменные.

2. Вычисляется величина частного -критерия для каждой предикторной переменной в предположении как будто бы она была последней. переменной, введенной в регрессионное уравнение.

3. Наименьшая величина частного -критерия, обозначаемая, скажем, как сравнивается с заранее выбранным критическим значением, например

а) Если то переменная которая обеспечила достижение только уровня исключается из рассмотрения и производится перерасчет уравнения регрессии с учетом остающихся переменных; затем переходят к следующему шагу.

б) Если то регрессионное уравнение оставляют таким, как оно было рассчитано.

На тех же данных Хальда , что и в предыдущем параграфе, мы проиллюстрируем теперь этот метод. Поскольку никакие преобразования предикторных переменных здесь не используются, мы будем применять те же обозначения для переменных X, что и ранее.

Сначала получим полное регрессионное уравнение для всех предикторных переменных. В примере, который рассмотрен в 6.1, мы таким образом нашли МНК-уравнение Анализ этой модели показан в приложении Б, с. 301. Поскольку матрица невырожденная, полученная в итоге остаточная дисиерсия служит хорошей оценкой величины в асимптотическом смысле, как об этом говорилось в связи с рис. 6.1. Метод исключения по существу реализует попытку удалить все ненужные переменные X без существенного увеличения значения «асимптотической» оценки Чтобы проверить переменные на этом шаге, необходимо определить вклад каждой переменной из набора в регрессионную сумму квадратов так, как будто данная переменная была включена в уравнение последней. Значения частных -критериев, служащих мерами вкладов этих переменных, указаны в последнем столбце машинной распечатки.

Теперь мы выберем наименьшую величину частного -критерия и сравним ее с критическим значением -статистики, основанным на определенном уровне значимости а. В данном случае критическая величина, например, для равна Наименьшее значение частного -критерия отвечает переменной и равно Так как вычисленное значение меньше критической величины, равной 3,46, переменная исключается.

Затем найдем МНК-уравнение Оно показано на с. 298. Полный -критерий для уравнения равен Эта величина статистически значима, поскольку она превосходит Исследуя это уравнение с целью последующего возможного исключения переменных, мы увидим, что величине соответствует наименьшее значение частного -критерия, и эта переменная является кандидатом на исключение. Процедура такого элиминирования подобна описанной выше с одним лишь отличием:

критическое значение величины F составляет Поскольку рассчитанная величина частного -критерия, связанного с равна 1,86 (что меньше 3,36), мы исключаем

Теперь мы найдем МНК-уравнение показанное на с. 289. Полное уравнение статистически значимо, поскольку соответствующая ему величина F равна 229,50 и превосходит критическое значение При этом значимы обе переменные безотносительно к порядку, в котором они входят в модель, поскольку частные -критерии в обоих случаях превосходят 14,91. Таким образом, процедура выбора уравнения методом исключения закончена и получено уравнение

Мнение. Это вполне удовлетворительная процедура, особенно для статистиков, которые любят видеть все переменные в уравнении, чтобы «чего-то не упустить». Этот метод значительно более экономичен по затратам машинного времени и труда, чем метод всех регрессий. Однако если из исходных данных получается плохо обусловленная матрица т. е. почти вырожденная, то уравнение может быть бессмысленным из-за ошибок округления. Если использовать современные методы обращения матриц, то это обычно не становится серьезной проблемой. Важно иметь в виду, что, как только переменная исключается из уравнения с помощью этого метода, она элиминируется безвозвратно. Таким образом, все другие методы, основанные на использовании исключаемых переменных, здесь непригодны.

(Примечание. Резюмируем положения, о которых шла речь в тексте.

1) В некоторых программах, базирующихся на этом методе, вместо F-критерия используется -критерий, представляющий собой корень квадратный из величины частного F-критерия. Это связано с тем фактом, что если случайная величина, подчиняющаяся F-pacпределению с 1 и v степенями свободы, случайная величина, подчиняющаяся -распределению с степенями свободы, то (см. с. 138, кн. 1).

2) В некоторых программах используется термин -критерий для исключения» («F to remove»). Он идентичен используемому нами термину «частный F-критерий» (см. с. 138, кн. 1.)