10.7. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РОСТА

В этом параграфе мы приводим некоторые примеры нелинейных моделей, которые используются для описания процессов роста, развертывающихся во времени. Модели роста находят применение во многих областях науки и техники: в биологии, ботанике, лесном деле, зоологии и экологии; с их помощью описывается рост организмов, растений, деревьев и кустарников, животных и людей. В химии и химической технологии с их помощью описывают результаты химических реакций. В экономике и политических науках эти модели используют для описания изменений, происходящих с организациями, ресурсами продовольствия и материалов, странами и др.

Типы моделей

Те или иные типы моделей, необходимые в определенных областях и в определенных задачах, зависят от специфических особенностей рассматриваемых объектов. Вообще модели роста оказываются скорее механистическими, чем эмпирическими. Механистическая модель обычно возникает как результат принятия определенных гипотез относительно типа роста. Гипотезы выписывают в виде

дифференциальных или разностных уравнений, которые решают и получают в результате модель роста. (Эмпирическую модель, напротив, выбирают интуитивно, чтобы аппроксимировать неизвестную механистическую модель. Часто эмпирическая модель имеет вид полинома соответствующего порядка.)

Пример механистической модели роста

Рассмотрим процесс роста, в котором предполагается, что скорость роста в каждый момент времени прямо пропорциональна разности между некоторым предельным (максимально возможным) уровнем, обозначаемым а, и текущим уровнем соответствующим моменту времени . Тогда

где есть константа скорости роста. Интегрируя это уравнение, получим

Это выражение известно также под названием мономолекулярной функции роста. Она описывает кривую, монотонно возрастающую от значения « при до предельного значения а. На интервале ( эта функция не имеет точки перегиба (знак второй производной не меняется) и всегда остается возрастающей, хотя сама скорость, как видно из уравнения (10.7.1), все время уменьшается. Эта модель использовалась например, в работе:

Рис. 10.18. Теоретические кривые зависимости -при различных значениях

Gregory F. G. Studies in the energy relation of plants, II.— Annals of Botany, 1928, 42, p. 469—507.

Составим теперь представление о том, как выглядит кривая, описываемая уравнением (10.7.2). Поскольку а — просто масштабный множитель, можно положить кроме того, поскольку параметр и предикторная переменная входят в модель только в виде произведения можно положить Тогда, варьируя параметр получим кривые, подобные тем, которые показаны на рис. 10.18. При разных значениях а изменяется только шкала кривой по вертикали, а выбор разных значений приводит только к растяжению или сжатию кривой по горизонтали. Каждая кривая начинается при значения которое равно при как показано на рис. 10.18.

Кривые, изображенные на рис. 10.18, получаются, конечно, теоретическими, поскольку они базируются на теоретической функции (10.7.2). Если предположить, что фактически наблюдаемые значения в моменты времени есть то можно постулировать модель в виде

где случайная ошибка, имеющая, например, такие характеристики: Примем что все ошибки имеют равные дисперсии и не коррелированы. В таком случае для подгонки модели к имеющимся данным резонно воспользоваться методом наименьших квадратов. Если не оговаривается иное, во всех случаях предполагается, что ошибки входят в модель аддитивно. Поэтому, в частности, выражение «подогнать модель, заданную уравнением означает, что речь идет об использовании уравнения (10.7.3). То же самое относится и к другим моделям.