Логистическая модель
Предположим, что скорость роста пропорциональна произведению величины, характеризующей текущий уровень на разность между предельным (максимальным) значением этого уровня и его текущим значением. В таком случае модель может быть выражена уравнением
где 
коэффициент пропорциональности, 
-предельный уровень. Если сравнить это уравнение с (10.7.1), то можно видеть, что оно отражает динамику, при которой темп прироста характеристики уровня линейно падает с увеличением 
Интегрируя (10.7.4), получаем
эта функция известна под названием логистической (или автокаталитической) функции роста. Она описывает 
-образную кривую. Заметим, что при 
величина со равна: и 
это начальный уровень развития; при 
она стремится к предельному уровню, равному 
Отсюда также следует, что 
Ясно также, что 
Из (10.7.4) видно, что тангенс угла наклона касательной к кривой в точке 
по отношению к оси абсцисс всегда положителен, а вторая производная выражается формулой
Из (10.7.6) вытекает, что вторая производная положительна при 
, равна нулю в точке перегиба, где 
а, и отрицательна при 
а. Из (10.7.5) находим, что точка перегиба имеет
координату 
Если ввести обозначение 
и, то можно представить выражение (10.7.5) в виде 
тогда можно записать
Из этого соотношения ясно, что данная кривая симметрична относительно точки перегиба, поскольку 
Конечно, кривая простирается влево только до 
т. е. 
тогда как вправо — до 
т. е. 
Рис. 10.19. Теоретические кривые зависимости 
при различных значениях 
Укажем еще, что если 
, кривая начинается с точки (при 
которая выше точки перегиба, хотя если 
положительно и имеет большое значение, то точка перегиба имеет большую координату 
которая может оказаться за пределами рабочего интервала времени. Конечно, 
поскольку а 
.
Чтобы получить некоторое представление о характере кривых (10.7.5), можно без потери общности положить 
и вычертить графики, варьируя 
Некоторые иллюстративные кривые показаны на рис. 10.19 и 10.20. При изменении коэффициента 
меняется положение начальной кривой на оси ординат при 
Изменение 
приводит к изменению крутизны кривой. Поскольку в выражение модели (10.7.5) величины 
входят только в виде произведения, изменение величины 
может быть компенсировано за счет изменения масштаба по оси 
например
где
Рис. 10.20. Теоретические кривые зависимости 
при различных значениях 
