8.3. ПРОВЕРКА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

После того как уравнение удовлетворит множеству целей, выбранных на стадии планирования, и модель будет признана полезной для предсказания, целесообразно определить процедуры для ее проверки и использования.

Стабильны ли параметры в выборочном пространстве?

При изучении стабильности параметров нам будет полезно различать два вида массивов данных: это данные, собранные в течение длительного отрезка времени («продольные» данные), и данные, собранные за короткое время («поперечные» данные, «мгновенная фотография» объекта).

Данные за длительное время. Если модель была построена по наблюдениям, проведенным в течение длительного времени, то можно проверить устойчивость -коэффициентов, строя модели для более коротких отрезков времени и сравнивая оценки. Если, например, имеются месячные данные за четыре последовательных года, то можно построить модели за каждый год отдельно и получить четыре множества оценок коэффициентов регрессии. Если оцениваемые коэффициенты проявят определенную тенденцию, то использование уравнения, построенного по всем данным для целей предсказания, будет неразумным.

Данные, полученные за короткое время. Если данные можно рассматривать как информацию, собранную в «одно мгновение», скажем, за одну рабочую смену или на одной партии сырья, то для такого случая есть несколько методов, описанных, например, в работах Мостеллера и Тьюки (Mosteller and Tukey, 1968), Аллена (Allen, 1971), Стоуна (Stone, 1974), Джиссера (Geisser, 1975), Маккарти (McCarthy, 1976) и Сни (Snee, 1977),- все они указаны в библиографии. В области социальных наук есть такие работы, как Финифтер (Finifter, 1972), Новик и др. (Novick et al., 1972) и Киш и Френкель (Kish, Frankel, 1974). Основная идея этих работ заключается в том, чтобы сначала на основе некоторого рационального критерия или критериев разделить имеющийся массив данных на подмножества, а затем использовать одну часть данных для построения «предсказывающего» уравнения, а оставшуюся часть — для «проверки» («экзамена») этого уравнения, т. е. для того, чтобы посмотреть, насколько хорошо оно предсказывает! Как и при выборе переменных, здесь нет единственного или наилучшего ответа на все вопросы. Зато есть несколько подходов, среди которых читатель может выбирать.

1. Подход «выбрасывать по одному наблюдению». Метод предложенный Алленом (1971) и обсуждавшийся в § 6.8, представляет собой процедуру проверки такого типа. После выбрасывания какого-нибудь одного наблюдения, строим заданную модель для тех наблюдений, что остались, предсказываем с ее помощью отброшенное значение и получаем квадрат расхождения между фактическим и предсказанным. Повторяем эту операцию, последовательно отбрасывая каждую из экспериментальных точек; в итоге получим сумму

квадратов расхождений для некоторой данной модели. Исследуя, таким образом, различные модели, как описано в § 6.8, найдем некоторую «наилучшую» модель, которая окажется наиболее «жизнеспособной» при фиксированном наборе данных. Значит, индивидуальные расхождения можно было бы исследовать для отыскания несостоятельных данных. Правда, прежде надо было бы изучить свойства оценок в таком процессе.

2. Подход «выбрасывать более, чем по одному наблюдению». Джиссер (1975) рассматривал метод, аналогичный методу Аллена, в котором исходная идея обобщалась на случай отбрасывания наблюдений и использования остальных наблюдений для построения модели и испытания ее на отброшенных точках. Стоун (1974) обсуждал методы такого типа и попытался найти «оптимальное» разбиение на подвыборки.

3. Идеи «делить пополам». Использование половины данных для построения модели и второй половины для ее проверки — вот что делалось на протяжении многих лет. Сни (1977) рассматривает проблему выбора половины данных для построения модели. Алгоритм ДУПЛЕКС (DUPLEX), который он рассматривает, это прежде всего некий метод, связанный с условием, что свойства определителя матрицы должны быть аналогичны для той половины данных, по которым построена модель, и для той, которая пошла на проверку. Использованное Сни правило включает вычисление корня степени из отношения двух определителей, а именно

где все исходные Х-переменные стандартизированы и ортогонализи-рованы, так что определитель представлен в корреляционной форме, число Х-переменных в матрице Если исходный массив данных разделить правильно, то эта статистика должна быть приблизительно равна 1. Более того, Сни (1977) рекомендует не делить данные пополам, если не выполняется неравенство (полный объем выборки) где число параметров, получившееся в окончательной модели. Алгоритм ДУПЛЕКС был предложен Кеннар-дом (R. W. Kennard), одним из пионеров метода ридж-регрессии, — см. § 6.7.

Проведение какой-либо из указанных проверок — полезная и необходимая часть полного метода множественного регрессионного анализа. Иногда информация, полученная таким путем, может привести к полному пересмотру всей задачи.

Имеется ли систематическая неадекватность?

Даже если параметры построенного уравнения оказываются очень стабильными, некоторые факторы все-таки могут быть пропущены. Всегда нужно исследовать остатки всеми возможными способами, чтобы выявить какие-либо признаки, указывающие на наличие подобных пропусков.

Практика рассмотрения моделей

Приемлемы ли коэффициенты? Этот вопрос может показаться необычным, но следует помнить, что моделью будут пользоваться и те, кто не подозревает о том, что регрессионные МНК-коэффициенты зависят от остальных факторов, входящих в регрессию. Поэтому могут иметь место попытки предсказать отклик, меняя только один фактор и используя соответствующий ему коэффициент, который теперь якобы хорошо заменяет остальные. Если все коэффициенты оцениваются независимо, то вред не будет большим. Однако, когда независимые переменные сильно коррелированы и оцениваемые коэффициенты тоже сильно коррелированы, доверять индивидуальным коэффициентам опасно. Разумно ограничить предсказание областью пространства X, в которой получены исходные данные; полезно также проверить, будут ли индивидуальные коэффициенты безусловно

коррентными. Например, если есть количество продукции, общий выход, то коэффициент должен быть положительным.

Правдоподобно ли уравнение? Тщательно ли рассмотрели уравнение эксперты? Подходящи ли включенные в уравнение факторы и нет ли очевидных пропусков?

Пригодно ли уравнение? Окончательная модель может содержать множество переменных, которые полезны для предсказания, но, возможно, ими нельзя воспользоваться для управления. Это показывает следующий пример.

Для некоторого процесса задан набор стандартных условий работы, которые требуют уточнений, и управляющих факторов. Уравнение для предсказания выхода процесса содержит только из этих факторов, причем Если попытаться с помощью построенного уравнения найти способ, позволяющий улучшить выход, то будет игнорироваться факторов, не входящих в модель. Это произойдет потому, что при стандартных рабочих условиях факторов так тесно связаны с факторами из предсказывающей модели, что в предсказании по ним нет необходимости. Однако определение этих факторов так же необходимо для управления данным процессом, как и факторов, входящих в модель. Так, например, в данных Хальда, приведенных в приложении Б, можно отлично предсказывать выход цемента только по факторам но, чтобы сделать цемент, нужны все-таки все четыре ингредиента.

Использование модели

Если все предшествующие критерии пропустили модель и все контрольные точки были благополучно пройдены, то следует определить процедуру использования модели. Физические условия меняются, и поэтому необходимо определить, когда отклонения фактических наблюдений от предсказанных значений указывают признаки несостоятельности модели. Если статистик располагает множеством контрольных карт для отклонений, то стандартная процедура статистического контроля качества с помощью контрольных карт как раз и призвана служить для проверки адекватности модели. И последний совет по использованию модели: подвергайте модель периодическим проверкам статистическими методами, так как это поможет обнаружить более сложные причины для беспокойства; никогда не оставляйте использование модели полностью на совесть заказчика, будь то химик или инженер.

Выводы

Если исследователь желает применить множественную регрессию как средство, помогающее ему решать задачи, то крайне необходимо, чтобы он следовал в общем приведенным выше ориентирам. Много времени и усилий может быть потрачено зря, если пытаться придавать какой-либо смысл сильно коррелированным данным; для применения методов множественной регрессии необходимо планирование серии контрольных точек, в которых оцениваются произведенные и ожидаемые затраты (стоимости). Наконец, никакой исследователь не может принуждаться к отказу от его научного понимания и

принципов в пользу пристрастия к некоторым вычислительным процедурам статистического отсеивания. Методы множественной регрессии — мощное средство, если только им пользуются с умом и осторожностью.