Решение с помощью нормальных уравнений

Продифференцируем уравнения (10.3.2) сначала по а, а затем по и приравняем соответствующие выражения к нулю. Получим два нормальных уравнения. После исключения сомножителя 2 из первого уравнения и сомножителя из второго уравнения и выполнения некоторых преобразований получим систему:

где суммирование производится от до и использовано обозначение Эта система нормальных уравнений имеет особую структуру, благодаря которой параметр а может быть исключен из нее вычитанием второго уравнения из первого. Тогда получим единственное нелинейное уравнение вида относительно Это уравнение можно решить с помощью метода Ньютона-Рафсона. Обозначим исходную оценку параметра через и будем затем «корректировать» ее, используя величину которую получим следующим образом. Если корень уравнения есть тогда приближенно

откуда и получаем

Теперь мы можем вместо использовать величину и повторить процедуру коррекции, определяя поправку и записывая Этот процесс может продолжаться до тех пор, пока он не сойдется к величине которая и будет МНК-оценкой параметра Величину а, т. е. МНК-оценку параметра а, можно получить

из уравнений (10.3.3) и (10.3.4) путем подстановки в их правые части. Для проверки полезен тот факт, что оба уравнения должны приводить к одному и тому же значению а.

Исходное значение можно найти, зная, например, что для отклик равен Если считать, что величина определяется без ошибки, то можно записать

В то же время мы знаем (на основании априорной информации от химиков), что величина имеет тенденцию стремиться к 0,30, когда X стремится к бесконечности. Поэтому мы можем принять исходное значение для а на уровне Отсюда следует

Следовательно, приближенно имеем

(Заметим, что необходимо иначе наблюдаемое падение концентрации активного хлора нельзя представить с помощью данной функции.)

Если для уравнений (10.3.3) и (10.3.4) воспользоваться соответственно записью

то

и

Вместо того чтобы выписывать весьма длинное выражение, которое получается при дифференцировании функций и применим более простой прием для отыскания Он состоит в вычерчивании графиков функций (10.3.7) в разумных пределах изменения параметров и в отыскании точки пересечения этих двух кривых. В итоге будут сразу получены искомые значения Некоторые значения функций Для значений аргументов приведены в табл. 10.3, а результирующий график — на рис. 10.5.

Оценки, которые можно получить с помощью миллиметровой бумаги, получаются достаточно точными и равны: Из рисунка видно, что кривые проходят довольно близко друг к другу в сравнительно большом диапазоне изменения параметра и при

сравнительно малом изменении параметра а. Это указывает на то, что параметр оценивается несколько хуже, чем параметр а. Например, величина достигается в интервале значений от 0,07 до 0,12 и в интервале значений а между 0,37 и 0,40. Некоторые пары значений такие, как, например, (0,09; 0,385), (0,11; 0,393), лежат там, где кривые на рисунке практически совпадают. В свете имеющихся экспериментальных данных эти наборы нельзя считать неразумными оценками параметров и а, хотя они и не минимизируют по-настоящему

Рис. 10.5. Нахождение оценок а путем пересечения кривых

Мы увидим далее, что эти соображения подтверждаются также с помощью доверительной области для истинных значений и а, которая может быть построена в данном случае (см. рис. 10.8). Подогнанное уравнение теперь приобретает вид

Подставляя в (10.3.10) наблюдаемое значение X, можно получить величины приведенные в табл. 10.2. Аппроксимирующая кривая и результаты наблюдений показаны на рис. 10.6.

Таблица 10.3. Точки кривых

Теперь в соответствии с гл. 3 можно проделать обычный анализ остатков. (Наибольший остаток при сразу бросается в глаза. Однако никаких особых причин для объяснения этого выброса авторы не нашли.)