9.7. РЕГРЕССИОННАЯ ОБРАБОТКА ПРИМЕРА С ДВУСТОРОННЕЙ КЛАССИФИКАЦИЕЙ

Как мы уже упоминали, в рассматриваемом примере необходимо найти двенадцать независимых параметров модели. Попытка определения более двенадцати параметров привела бы к вырождению матрицы Из этих двенадцати параметров один приходится на генеральное среднее, три — на эффекты реагентов, два — на эффекты катализаторов и шесть — на взаимодействия этих эффектов. Как всегда, можно по-разному ввести фиктивные переменные, чтобы построить регрессионную модель. Выберем их так, чтобы матрица была диагональной. Запишем регрессионную модель в виде

и определим фиктивные переменные с помощью следующих соотношений:

Заметим, что три независимых столбца по существу позволяют провести сравнения между реагентами:

и что эти независимые сравнения (или контрасты) «содержат» 3 степени свободы. Эти столбцы позволяют генерировать некоторые другие типы сравнений. Так, например, чтобы сравнить мы можем использовать столбец (зависимый, конечно, от столбцов который получеи суммированием данных трех столбцов, что дает . Кроме того, в силу симметрии плана и матрицы X столбцы, связанные с взаимно ортогональны. При условии, что они также ортогональны к другим Х-столбцам, как это и есть на самом деле, индивидуальные дополнительные суммы квадратов могут быть соотнесены с каждым из трех контрастов, которые генерируются с помощью столбцов Введем теперь фиктивные переменные, связанные с различными катализаторами.

Эти два столбца являются независимыми, они позволяют провести сравнение между катализаторами

Благодаря тому, что этот двусторонний план полностью сбалансирован, а в каждой ячейке содержится одинаковое число наблюдений, можно сконструировать фиктивные переменные, связанные взаимодействиями, перемножая соответствующие элементы других фиктивных переменных, в виде шести комбинаций: три фиктивные переменные, связанные с реагентами, умножаются на две фиктивные переменные, связанные с катализаторами. Таким образом,

Запишем теперь вектор и матрицу X:

(см. скан)

Исследование показывает, что все столбцы матрицы X взаимно ортогональны, так что диагональная матрица с элементами

и матрица также диагональная с элементами Затем

Отсюда следует, что имеет значения

Сумма квадратов, обусловленная регрессией, включает следующие двенадцать независимых составляющих, собранных для удобства в группы, каждый элемент которых представляет собой сумму квадратов, обусловленную своим -коэффициентом:

Эти результаты позволили нам составить ANOVA-таблицу для рассматриваемого примера (см. табл. 9.5).

Таблица 9.5. ANOVA-таблица для примера с двусторонней классификацией, обрабатываемого с помощью регрессионного анализа

Параметры (9.7.8) позволяют получить модель

и это уравнение можно использовать для предсказания скорости производства продукта при различных условиях и для определения остатков. Например, для реагента С и катализатора 2 мы видим, что

так что

В этой ячейке фактические наблюдения равны 15 и 9, так что соответствующие остатки, которые должны давать в сумме нуль, равны 3 и —3. Сумма остатков в каждой ячейке должна равняться нулю, так как модель по существу без остатков подогнана к средним значениям по ячейкам. Это происходит во всех регрессионных ситуациях, когда в каждой ячейке содержится одинаковое число повторных опытов 7.

Дисперсии оцениваемых параметров и предсказываемых величин отклика могут быть получены по обычным формулам регрессионного анализа. Дальнейший анализ данных этого примера читателю полезно провести самостоятельно.

В § 9.8 приведены стандартные выкладки дисперсионного анализа для модели с двусторонней классификацией при равном числе наблюдений в ячейке, а в § 9.9 даны два альтернативных варианта регрессионной обработки. Один из них опирается на принцип дополнительной суммы квадратов, другой — на «несимметричное исключение параметров», что позволяет получить невырожденную матрицу Первый из этих методов иллюстрируется на примере в § 9.10.