Решение с использованием методов линеаризации

Чтобы линеаризовать модель вида (10.2.1), вычислим первые производные от функции

а именно:

Рис. 10.6. Расчетная кривая и наблюдения

Таким образом, если величины, вводимые на шаге, как описано в § 10.2, то при обозначениях, используемых в том же параграфе, модель на шаге итерации имеет вид

или в матричной форме

где

и

Нужно найти вектор

его оценки задаются уравнением

Если начать итерации с исходных величин как указано выше, то, применяя последовательно уравнение (10.3.16), получим следующие оценки:

(Примечание. Эти данные округлены по сравнению с найденными при вычислениях на ЭВМ и содержавшими больше значащих цифр. Естественно, они несколько отличаются от тех чисел, которые получились бы при проведении вычислений на микрокалькуляторе.)

Процесс сходится к некоторым МНК-оценкам, указанным выше, которые и входят в итоговое уравнение (10.3.10):

Рис. 10.7а. Контуры суммы квадратов для нелинейной модели. Точки 0, 1 и 2 соответствуют значениям параметров в начальной точке и на первой и второй итерациях

Заметим, что это происходит несмотря на тот тревожный факт, что после первого шага итерации сумма становится равной

4,4881, что примерно в 170 раз больше первоначального значения суммы Уменьшение суммы на следующем шаге итерации получилось большим и практически исчерпывающим, ибо дальнейшие итерации приводят к незначительному уменьшению суммы которое сказывается лишь в шестом знаке после запятой и не получило отражения в таблице. В некоторых нелинейных задачах не происходит вообще никакого улучшения, и процесс расходится, давая все большие и большие значения 5 (0). (Причины такого поведения описаны, в частности, в § 10.6.)

На рис. 10.7а изображены контуры суммы квадратов для нелинейной модели (10.3.1) в области вместе с иллюстрацией перемещения из начальной точки в точку Обоснование такого «пути» отражено на рис. 10.76 и 10.7в. Контуры суммы изображенные на рис. 10.76, представляют довольно плохо обусловленную задачу и потому приводят к точке минимума суммы а именно к точке которая весьма далеко удалена от фактической точки минимума суммы следующей итерации контуры суммы квадратов для линеаризованной модели представляют уже относительно хорошэ обусловленную задачу (рис. 10.7в), и их центр также, как мы видим, близок к точке минимума поверхности, описываемой суммой квадратов для нелинейной модели. Заметим, что на обоих рисунках 10.76 и 10.7в направление наискорейшего спуска, перпендикулярное к контурам суммы в стартовой точке, привело бы нас к траектории, которая отличается от траектории метода линеаризации.

Рис. 10.7б. (см. скан) Контуры суммы квадратов для линеаризованной модели в точке Центр системы эллипсов имеет координаты и следующая итерация начинается с этой точки

Рис. 10.7в. (см. скан) Контуры суммы квадратов для линеаризованной модели в точке . Центр систем эллипсов имеет координаты и следующая итерация начинается с этой точки