9.9. РЕГРЕССИОННАЯ ОБРАБОТКА ДВУСТОРОННЕЙ КЛАССИФИКАЦИИ С РАВНЫМ ЧИСЛОМ НАБЛЮДЕНИЙ В ЯЧЕЙКАХ

При желании мы могли бы решить эту задачу подобно тому, как это сделано в § 9.4, записывая зависимые нормальные уравнения относительно параметров добавляя к ним уравнения, задаваемые ограничениями (9.8.2), и решая систему из отобранных независимых уравнений. Однако мы будем решать данную

задачу другим способом, при котором в вычислениях участвует невырожденная матрица

Вообще здесь имеется параметров, однако они зависимы благодаря существованию ограничений, определяемых уравнениями (9.8.2). Мы должны исключить одно ограничение из общего числа очевидных (на первый взгляд) ограничений, чтобы сделать поправку, связанную с тем, что если все суммы параметров по строкам равны нулю, то общая сумма всех также равна нулю. Значит, достаточно указать только, что сумм параметров по столбцам равны нулю, чтобы обеспечить равенство нулю суммы параметров по последнему столбцу. Таким образом, в действительности необходимо только параметров для описания модели, и мы можем определить последнюю так:

Рассмотрим следующие модели:

Мы можем выразить все модели в матричной форме. Пусть

где выдержана следующая нумерация ячеек:

третий индекс используется для обозначения порядкового номера наблюдения внутри ячейки. Тогда с помощью матриц, которые мы укажем в дальнейшем, можем записать модели а), б), в) и г) в форме

(кликните для просмотра скана)

где означает -вектор, составленный из единиц

Модель в)

где как и ранее, означает вектор, размерности составленный из единиц:

Модель г)

причем есть -вектор из единиц, а является скаляром.

Можно составить стандартную таблицу дисперсионного анализа, используя регрессионный анализ, следующим образом. Обозначим через суммы квадратов, обусловленные регрессиями, указанными выше. И пусть Тогда, применяя принцип «дополнительной суммы квадратов», рассмотренный в § 2.7, построим следующую таблицу:

(Сумма квадратов, обусловленная взаимодействиями, в действительности получается из соотношения

которое сводится к выражению, указанному в таблице.)

Эквивалентность этих сумм квадратов и тех, которые можно получить с помощью процедуры дисперсионного анализа, может быть

легко доказана математически, но мы на этом не будем здесь останавливаться.

Обычно нас интересуют оценки истинных параметров и дисперсионной модели. Эти оценки можно найти, исходя из оценок регрессионных коэффициентов четырех моделей. А именно:

Альтернативный метод

Предложенный выше метод рассмотрения двусторонней классификации дисперсионного анализа включал четыре симметричные процедуры регрессионного анализа и опирался на принцип дополнительной суммы квадратов. Чтобы ограничиться одной процедурой регрессионного анализа, нужно записать несимметричную модель, не содержащую некоторые из зависимых параметров стандартной модели регрессионного анализа. Проиллюстрируем это на примере. Рассмотрим двустороннюю классификацию, при которой в каждой ячейке содержится по два наблюдения.

Стандартная модель дисперсионного анализа имеет вид

где

Следовательно, если, например, параметры известны или найдены их оценки, то все другие параметры, точнее их оценки, можно найти из ограничений. Таким образом, можно

записать регрессионную модель

или

где

(Примечание. Элементы столбцов, соответствующих получаются в результате перемножения соответствующих элементов столбцов, отвечающих

Для получения такой модели могут использоваться любые независимые подмножества параметров, и поэтому можно построить много разных форм модели. Для оценивания здесь применимы обычные регрессионные методы. Вследствие ортогональности некоторых столбцов матрицы X удается получить раздельные, ортогональные суммы квадратов для оценок Это будут обычные суммы квадратов для 1) среднего, 2) строк, 3) столбцов, 4) взаимодействия в стандартном дисперсионном анализе.