Некоторые характерные особенности распечаток при использовании типовых программ нелинейного регрессионного анализа

В разных программах нелинейного МНК можно увидеть отличающиеся друг от друга распечатки. Однако многие из них содержат некоторые повторяющиеся особенности. Опишем и проиллюстрируем их кратко на примере, в котором применяется метод Маркуардта.

1. Сингулярные числа — это величины, равные корню квадратному из соответствующих собственных чисел (см. § 6.9 и 6.10) матриц где матрица получается на основе (10.2.4), но с использованием текущего вектора а не Сильно различающиеся между собой сингулярные числа указывают на плохую обусловленность задачи. Соответствующие сингулярные векторы определяют ориентацию осей контуров суммы квадратов для линеаризованной модели по отношению к 0 осям:

Пример 1. Для 0 имеют место следующие результаты:

Отношение наибольшего и наименьшего сингулярных чисел (в данном примере их всего два, но в общем случае их число равно т. е. числу параметров) равно 6,4. Эта величина указывает на довольно хорошую обусловленность задачи. (В плохо обусловленных задачах сингулярные числа могут отличаться в тысячи раз. Если их отношение близко к единице, то контуры суммы квадратов для линеаризованной модели близки к круговым.) Чтобы получить одинаковое изменение суммы следовало бы сдвинуться примерно на вдоль оси и лишь на одну единицу вдоль оси а. На основании приведенных выше результатов мы видим, что первое сингулярное направление

почти совпадает с обратным направлением оси а, в то время как

а это означает, что второе сингулярное направление почти совпадает с направлением оси Рис. 10.8 подтверждает сказанное. Заметим,

что сумма квадратов коэффициентов, входящих в приведенные уравнения (т. е. величин — равна 1 независимо от ошибок округления, и это верно для всех таких уравнений.

2. Нормализирующие элементы — величины, равные корню квадратному из диагональных элементов матрицы Приближенная корреляционная матрица для 0 получается путем деления каждой строки и столбца матрицы на соответствующие нормализирующие элементы, а именно

Пример 2.

Коэффициент корреляции между а и положителен. Это указывает на то, что сравнительно небольшое одновременное увеличение или одновременное уменьшение параметров а и по сравнению сайр почти не сказывается на величине суммы квадратов Из рис. 10.8 видно, как это происходит. (Напомним, что эллипсоидные контуры суммы квадратов с центром в точке 0 лишь имитируют истинные контуры суммы квадратов 5 (0), но не совпадают с ними в точности.) Хотя коэффициент корреляции, равный 0,888, и достаточно высок, но не настолько, чтобы считать модель перепараметризованной. (Более детально об этом в следующем разделе.)

3. Доверительные пределы для истинных параметров могут быть вычислены на основе линейной аппроксимации при Обычно их выражают в виде где соответствующий диагональный элемент матрицы матрица составленная согласно (10.2.4), в которой вектор заменен на . В общем случае этим пределам соответствует доверительная вероятность, составляющая примерно

Пример 3.

Окончательная оценка для а равна а приближенный, -ный доверительный интервал для а есть (0,380; 0,400). Окончательная оценка для равна ; приближенный 95 %-ный

доверительный интервал для составляет (0,075; 0,128). Это согласуется с рис. 10.8. (При необходимости читатель может вернуться к с. 131, где обсуждаются вопросы доверительного оценивания. При этом надо иметь в виду, во-первых, что в данном случае имеет силу предостережение, высказанное на с. 131, во-вторых, что высказанные выше утверждения о доверительном оценивании параметров нелинейной модели делались на основе ее линейной аппроксимации и потому не слишком строги.) Оба интервала не включают нуль, и это указывает на то, что величины по-видимому, отличны от нуля.