Модель Берталанфи
Эта четырехпараметрическая модель имеет форму
где
параметры, подлежащие оцениванию. В исходных работах: von Bertalanffy L. Stoffwechseltypen und Wachs-tumstypen.- Biol Zentralbl., 1941, 61, p. 510-532; Quantitative laws in metabolism and growth.- Quarterly Review of Biology, 1957, 32, p. 218-231, где эта модель была предложена, на параметр
были наложены ограничения.
Рис. 10.21. Отдельные теоретические кривые модели Гомпертца
Однако в дальнейшем Ричардс (Richards F. J. A flexible growth function for empirical use.- Journal of Experimental Botany, 1959, 10, p. 290-300) показал, что целесообразно этот параметр использовать в других пределах. Особый интерес представляют следующие факты.
1. При
получаем мономолекулярную функцию, если записать
2. При
получаем логистическую функцию, если записать
3. При
кривая стремится к виду модели Гомпертца, как можно показать, исследуя предельное поведение скорости роста; непосредственная подстановка не удается. Следовательно, близость оценки
к единице показывает, что в данном случае полезна кривая Гомпертца.
4. При
величина 0 отрицательна; при
она положительна.
Подгонка этой модели может вызвать затруднения, если текущие значения параметров приводят к отрицательным значениям функции. Чтобы избежать этого, надо использовать дробные показатели степени и вводить ограничения. В силу этого модель Берталанфи может оказаться менее удобной для подгонки, чем другие модели, описанные выше.