Глава 9. ПРИЛОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ К ЗАДАЧАМ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

9.0. ВВЕДЕНИЕ

Методы множественного регрессионного анализа рассматривались в гл. 1, 2 и 3. Напомним, что для получения решения нормальных уравнений необходимо, чтобы матрица была неособенной. Практически это означает, что нормальные уравнения должны содержать ровно столько независимых уравнений, сколько параметров подлежит оцениванию. Это наиболее распространенный случай. Однако если данные получаются из спланированных экспериментов, то надо проявить осторожность и проверить, все ли нормальные уравнения независимы друг от друга. Если это не так, то должны быть предприняты дополнительные шаги, чтобы все же получить оценки.

Один из наиболее распространенных методов анализа данных, полученных на основе спланированных экспериментов, — это метод дисперсионного анализа. Обычно он трактуется как нечто постороннее и совершенно отличное от регрессионного анализа. В большинстве вычислительных центров есть программы, специально разработанные для дисперсионного анализа. Некоторые специалисты даже не подозревают, что любой случай дисперсионного анализа при использовании модели с «фиксированными эффектами» факторов (модель 1) можно обработать с помощью общей регрессионной процедуры, если только модель правильно идентифицирована и предприняты необходимые меры для получения независимых нормальных уравнений. (На самом деле модели, отличные от моделей с фиксированными эффектами факторов, также можно обрабатывать по схеме регрессионного анализа, но мы ограничиваемся здесь только моделью 1.)

Мы не рекомендуем решать задачи дисперсионного анализа в случае модели с фиксированными эффектами факторов с помощью общих регрессионных методов. Мы лишь показываем, что они могут использоваться, еслн предприняты правильные шаги при решении задачи, и важно понимать это. Чаще всего приходится сталкиваться с тем, что на вопрос: «Какую модель Вы рассматриваете?» следует ответ: «Я не рассматриваю модель, а применяю дисперсионный анализ». Осознание того, что модель подразумевается в любой задаче дисперсионного анализа и что именно она служит основой для построения таблиц дисперсионного анализа, позволяет понять, что дисперсионный анализ практически эквивалентен регрессионному. Ведь известно, что регрессионный анализ без модели немыслим.

Особенности анализа дисперсионных (ANOVA) моделей, вообще говоря, состоят в том, что эти модели перепараметризованы, т. е. они содержат больше параметров, чем это необходимо для представления интересующих нас эффектов. Указанная перепараметризация обычно компенсируется введением определенных ограничений на параметры. Регрессионная обработка задач дисперсионного анализа включает построение фиктивных переменных, и, как это обычно бывает в подобных случаях, имеется неограниченное число способов выполнения этой операции, некоторые из которых более удобны на практике, чем другие.

В следующих параграфах мы обсудим сначала одностороннюю классификацию, а затем двустороннюю классификацию с равным числом наблюдений в ячейках, используя для каждого случая практический пример с реальными данными, чтобы дать читателю некоторое представление о достоинствах и недостатках регрессионного подхода. Будут также теоретически рассмотрены более общие односторонние и двусторонние классификации с одинаковым числом наблюдений в ячейках и будет приведен пример для последней из этих классификаций.