КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

— задача получения решения дифференциального уравнения (или системы уравнений) в заданной области при заданных дополнительных ограничениях на решение в точках ее границы. Эти ограничения имеют вид одного или нескольких равенств и наз. краевыми условиями . Матем. уравнение К. з. для системы обыкновенных дифф. уравнений порядка N могут быть записаны так:

где первая ф-ла означает векторную запись системы дифф. уравнений, вторая — векторную запись к. у., а Размерность вектора может и не совпадать с N. При недоопределенной, при определенной, при - переопределенной. В приложениях чаще всего встречается случай, когда поскольку в этом случае имеются широкие классы К. з., обладающих единственным решением. Вообще же К. з. может и не иметь решения. Практически установить априори разрешимость К. з., как правило, весьма сложно. Если к. у. имеют вид , то К. з. наз. задачей с расщепленными к. у. Бывают практические задачи для систем обыкновенных дифф. уравнений, в которых дополнительные ограничения более сложны, чем в (1), напр.:

где заданные точки из заданная вектор-функция. Такие задачи наз. обобщенными К. з. Если то задача многоточечно и К. з., а задачу (1), которая является частным случаем задачи двухточечной К. з. Задача с к. у. заданным только в одной точке одноточечной К. з. Решение такой задачи сводится к отысканию всех решений системы и решению затем задач Коши Задача (2) может быть просто приведена к виду (1), но с увеличенным порядком системы дифф. уравнений. Если линейны по то К. з. наз. линейной. Общий вид линейной К. з. таков:

где А, В, С — заданные матрицы, a f, d — заданные векторы.

Одним из основных источников К. з. являются вариационные задачи, появляющиеся при исследовании физ. систем с сосредоточенными параметрами. Условия минимума обычно встречающихся функционалов в виде одномерных интегралов представляют собой во многих случаях ур-ния К. з. Понтрягина принцип максимума позволяет сводить к К. з. и неклассические вариационные задачи, когда область ограничений на управления замкнута, — т. н. задачи на Построение оптим. управлений. К. з. для обыкновенных дифф. ур-ний возникают также при решении К. з. для ур-ний с частными производными методом прямых и при различных др. способах сведения многомерных К. з. к одномерным. Линейные однородные К. з. (т. е. задачи типа (3) с ) получаются при исследовании собственных частот колебаний физ. систем.

К. з. для ур-ний с частными производными встречаются обычно в связи с ур-ниями эллиптического типа, поскольку такие задачи имеют широкое практическое применение в механике упругого тела, гидромеханике, при исследовании теплопередачи, электромагнетизма, а также в др. областях физики (см. Эллиптического типа дифференциальных уравнений в частных производных способы решения). Но математически К. з. может быть сформулирована для любого ур-ния с частными производными или системы таких ур-ний. В приложениях часто формулируются К. з. для самосопряженного эллиптического ур-ния 2-го порядка

где могут зависеть как от пространственных координат, так и от решения с его производными. Распространенность ур-ния (4) объясняется тем, что оно выражает закон сохранения массы или энергии для бесконечно малого объема. По типу к. у. различают 1-ю, 2-ю и 3-ю К. з. для ур-ния (4). В 1-ой К. з. (задаче Дирихле) задаются значения решения на границе Г области: во второй (задаче Неймана) — значения норм, производной на условие на Г. Во всех трех формулах — это ф-ции координат точек границы, но они могут зависеть также от решения и его производных. Для ур-ния (4) встречается еще смешанная К. з., когда к. у. имеют различный тип на разных участках границы, и задача с косой производной, в которой к. у. на Г имеет вид: , где s — направление, не совпадающее с направлением нормали Частным случаем ур-ния (4) являются ур-ния Лапласа , Пуассона (при к не зависящему от решения ), Гельмгольца (при , где с могут зависеть только от координат). Если коэфф. ур-ния (4) и к. у. не зависят от решения, то К. з. наз. линейной. К. з. для эллиптических ур-ний порядка, выше возникают в задачах механики упругого тела и в гидромеханике вязкой жидкости. Если порядок ур-ния то для определенности задачи должны быть заданы на границе области к. у. На тех же участках границы, которые заранее не определены, а находятся в процессе решения К. з., к-во к. у. должно быть на единицу больше. К. з. с неизвестной заранее границей встречаются при исследовании течений жидкости со свободными поверхностями или нескольких несмешивающихся жидкостей, при исследовании теплопередачи с фазовыми переходами вещества (плавлением, испарением и т. п.). К. з. для системы ур-ний эллиптического типа возникают в механике упругого тела, в магнитогидродинамике, в задачах термоупругости, т. е. обычно там, где необходимо исследовать взаимное влияние различных физ. процессов. Кроме того, такие К. з. получаются из вариационных задач для физ. систем с распределенными параметрами. Условия существования решения К. з. исследованы достаточно полно лишь для задач с простыми к. у.

Термин К. з. применяется иногда также для граничных задач теории ф-ций комплексного переменного.

Лит. см. к Краевых задач способы решения.

В. Е. Шаманским.