§ 5.2. Задача Дирихле

Распределение тепла в теле называется стационарным, если температура  тела зависит от положения точки , но не зависит от времени , т. е.

.

В этом случае

и функция  удовлетворяет уравнению

.

Определение. Функция  называется гармонической на области , если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на  и удовлетворяет на  уравнению

.                                                 (1)

Уравнение (1) называется уравнением Лапласа. Справедлива

Теорема 1. Пусть ограниченная область  пространства имеет кусочно-гладкую границу (поверхность) , на которой задана непрерывная функция . Тогда существует на замыкании  единственная непрерывная функция , гармоническая на , такая, что

.

Теорема 1 имеет очевидную физическую интерпретацию. Если на границе  тела  все время поддерживать температуру , равную , где  - заданная непрерывная на  функция, то внутри тела установится вполне определенная (единственная) температура . Это утверждение с физической точки зрения надо считать очевидным. Но оно может быть доказано и математически. Эта задача, называемая задачей Дирихле, исследована очень хорошо, при этом даются различные приближенные методы ее решения.

Задача Дирихле имеет большое практическое применение и в плоском случае. В плоском случае она формулируется так.

На кусочно-гладкой границе  плоской области  задана непрерывная функция . Требуется найти функцию , непрерывную на  и гармоническую на , т. е. имеющую вторые непрерывные частные производные и удовлетворяющую уравнению Лапласа на :

.

Эта задача решается положительно: на  существует и притом единственная функция , удовлетворяющая  требованиям этой задачи.

Особенно важны те случаи, когда задача Дирихле решается эффективно.

Ниже мы даем эффективное решение задачи Дирихле для круга.