81. Полиномы Лежандра.

Требуется найти такие значения параметра , при которых уравнение

имеет решение, ограниченное на обоих концах промежутка [-1, 1]. Мы уже знаем, что собственными значениями этой задачи будут значения а ортогональные и нормированные собственные функции будут

где — полиномы Лежандра Нетрудно видеть, что никаких других собственных значений и собственных функций не может быть Если бы существовали другие собственные функции, то мы имели бы собственную функцию, ортогональную ко всем функциям (43), и для того чтобы показать, что такой функции нет, нам достаточно показать, что функции (43) образуют замкнутую систему Покажем это Пусть любая заданная непрерывная в промежутке [-1, 1] функция Согласно теореме Вейерштрасса при любом заданном положительном мы можем найти такой полином что

во всем промежутке имеет место неравенство из которого непосредственно вытекает

Пусть — степень полинома Поскольку функция есть полином степени, в точности равной мы можем представить в виде линейной комбинации полиномов и предыдущее неравенство перепишется в виде

Если вместо коэффициентов а мы возьмем коэффициенты Фурье функции относительно системы функций (43), то написанное неравенство будет тем более удовлетворено.

Принимая во внимание произвольную малость числа , мы можем утверждать, что средняя квадратичная погрешность при представлении функции отрезком ее ряда Фурье по функциям (43) стремится к нулю, т. е. функции (43) действительно образуют замкнутую систему.

Вернемся к уравнению (42). В данном случае мы имеем

и непосредственно очевидно, что первая из функций (43), т. е. постоянная удовлетворяет однородному уравнению и предельным условиям, т. е. ограничена на концах промежутка Иными словами, есть собственное значение, что вытекает и из формулы при . Для построения функции Грина напишем неоднородное уравнение (28), которое в данном случае будет иметь вид

Частное решение этого уравнения будет а общий интеграл соответствующего однородного уравнения имеет вид

Решения, которые остаются конечными на концах имеют соответственно вид

где — некоторые постоянные Подберем эти постоянные так, чтобы составной решение было непрерывным при и чтобы оно было ортогональны к Первое из этих условий дает

в мы можем положить

где — постоянная, которую надо определить из условия ортогональности функции Грина . Мы имеем

Условие ортогональности

дает нам следующее значение постоянной и окончательно обобщенная функция Грина определяется следующим равенством:

Ядро (44) становится неограниченным в окрестности вершин основного квадрата. Легко проверить, что всякая представимая через ядро функция

будет уже непрерывной, если непрерывна и мы будем иметь так же, как и в [76], для таких функций теорему разложения в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по функциям . Всякая функция имеющая в промежутке непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющая условию

которое выражает ортогональность может быть представлена по формуле (45) через ядро и разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по функциям , т. е. по полиномам Лежандра . Если не удовлетворяет условию (46), то достаточно применить общую теорему разложения к функции

которая уже удовлетворяет условию (46). Для первоначальной функции f(x) получим разложение по всем полиномам Лежандра, включая . Ряд Фурье для ядра в данном случае имеет вид

Он не может сходиться равномерно во всем квадрате так как ядро неограниченно. Воспользуемся асимптотическим выражением полиномов Лежандра при больших значениях :

где равномерно относительно если t принадлежит промежутку , причем — любое заданное положительное число. Фиксируем некоторое значение внутри промежутка Для мы имеем асимптотическую оценку вида где остается ограниченным при возрастании . Для любых удовлетворяющих условию мы имеем неравенство . Отсюда видно, что при фиксированном ряд (47) сходится абсолютно и равномерно относительно в промежутке . Функция (44) ортогональна к и, следовательно, ряд (47) есть ее ряд Фурье по отношению к замкнутой системе функций (43). Из его равномерной сходимости следует, что его сумма равна ядру Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает также, что ряд (47) сходится абсолютно и равномерно в квадрате , если исключить из этого квадрата его вершины (-1, -1) и (1, 1) кружками с центрами в этих вершинах и со сколь угодно малым положительным радиусом.

Применим теперь другой подход к рассмотрению предельной задачи для уравнения (42), указанный в предыдущем параграфе. Введем вместо А, новый параметр по формуле , где — некоторое фиксированное не целое . Уравнение (42) пишется в виде

Значение уже не будет собственным значением, причем мы должны положить

Если ввести вместо новую переменную Уравнение превратится в уравнение Гаусса [III; 103, 104] с параметрами Мы будем иметь два решения этого уравнения:

из которых первое регулярно при а второе при Можно по добрать постоянную с так, чтобы имело место соотношение:

Можно показать, что это дает и, следовательно, обычная функция Грина определяется равенством

При надо буквы и поменять местами. Вследствие замены параметра собственные значения будут определяться формулой , а собственные функции будут прежние функции . Ряд Фурье для ядра (48) будет в данном случае иметь вид

и, как и выше, он будет давать функцию Грина (48) при любом фиксирован ном внутри промежутка для всех из этого промежутка. Заметим, что и в данном случае ядро (48) будет неограниченным.