184. Формула Пуассона.

По аналогии с бесконечной струной займемся теперь решением общего волнового уравнения

в безграничном пространстве при заданных начальных условиях. Предварительно выведем одно вспомогательное предложение. Для удобства записи дальнейших формул обозначим координаты через Пусть любая функция, непрерывная со своими производными до второго порядка в некоторой области D или во всем пространстве. Все дальнейшие рассуждения буду относиться к этой области. Рассмотрим значения функции на поверхности сферы с центром в точке и радиусом . Координаты точек этой сферы могут быть Еыражены по формулам

где - направляющие косинусы радиусов упомянутой сферы. Мы их можем записать в виде

причем угол меняется от 0 до и угол до Обозначим через элемент площади сферы единичного радиуса и через элемент площади сферы радиуса :

Рассмотрим среднее арифметическое значений функции по поверхности сферы , т. е. интеграл от функции по поверхности упомянутой сферы, деленный на площадь этой поверхности. Величина этого интеграла зависит, очевидно, от выбора центра и радиуса сферы, т. е. упомянутое среднее арифметическое будет функцией четырех переменных . Мы можем записать это среднее арифметическое двояким образом:

или

Докажем, что при любом выборе функции со функция v удовлетворяет одному и тому же уравнению с частными производными, а именно

где, как всегда,

В формуле (68) интегрирование совершается по поверхности единичной сферы, и мы можем дифференцировать по под знаком интеграла. Таким образом мы имеем

и

Последний интеграл мы можем преобразовать в интеграл по поверхности сферы

и, применяя формулу Остроградского, мы получим

где есть сфера с центром и радиусом . Последнее выражение есть произведение двух функций от : дроби и интеграла. Производная по от тройного интеграла по сфере равна интегралу от той же подынтегральной функции по поверхности этой сферы. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например, выразить интеграл по через сферические координаты. Таким образом дифференцируя еще раз по , получим:

Подставляя все указанные выше выражения для производных в уравнение (69), мы убедимся непосредственно в том, что это уравнение действительно удовлетворено. Если , то из формулы (68) непосредственно вытекает, что стремится а из (70) вытекает, что стремится к нулю, так как тройной интеграл формулы (70), согласно теореме о среднем, имеет порядок а в знаменателе стоит Мы приходим таким образом к следующей теореме;

Теорема. При любом выборе функции а), допускающей непрерывные производные до второго порядка, функция v, определяемая равенством (68), удовлетворяет уравнению (69) и накальным данным

Покажем, пользуясь этой теоремой, что функция

удовлетворяет волновому уравнению

и начальным условиям

Действительно, мы имеем

где, например, есть значение производной при Подставляя предыдущие выражения в уравнение (73), мы получаем для v уравнение (69) при которое, как доказано выше, действительно имеет место. Начальные условия (74) непосредственно получаются из (71). Поскольку уравнение (73) есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, мы можем утверждать, что функция также удовлетворяет этому уравнению. Определим ее начальные данные при Принимая во внимание начальные условия (74), мы получим непосредственно для функции

Для производной мы имеем, в силу (73),

или, дифференцируя первое из начальных условий (74) по координатам, мы получим отсюда

Таким образом производная по t от построенного выше решения волнового уравнения (73), удовлетворяющего начальным условиям (74), является решением того же уравнения и удовлетворяет начальным условиям

Возвращаясь к прежним обозначениям координат и взяв в первом случае начальных условий (74) за некоторую функцию , и во втором случае начальных условий взяв за какую-либо другую функцию и сложив таким образом построенные решения, будем иметь решение уравнения (67), удовлетворяющее начальным условиям

Обозначая для краткости письма через среднее арифметическое от функции по сфере с центром и радиусом , мы можем написать, согласно сказанному выше, упомянутое решение уравнения (67), удовлетворяющее начальным условиям (75), в виде

Эта формула называется обычно формулой Пуассона. Ее можно, очевидно, записать в виде

где — координаты переменной точки вышеупомянутой сферы:

Предыдущие рассуждения показывают, что функция и, определенная формулой (76), действительно удовлетворяет уравнению (67) и условиям (75), если имеет непрерывные производные до второго порядка и до третьего порядка. Последнее обстоятельство связано с тем, что в формуле (76) второе слагаемое содержит дифференцирование по t.

Однако, если обладают более плохими дифференциальными свойствами, как это бывает, например, в задачах

с сосредоточенными начальными возмущениями, то и тогда естественно считать, что формула дает решение задачи. Только в этом случае решение будет не классическим, а обобщенным (см. том IV).

В дальнейшем мы увидим, что поставленная задача может иметь только одно решение.

Положим, что начальное возмущение сосредоточено в некотором ограниченном объеме с поверхностью , т. е. что равны нулю вне (v), и пусть точка М находится вне . При где - кратчайшее расстояние от М до (а), сфера находится вне обе вышеупомянутые функции равны нулю на и формула (76) дает т. е. покой в точке М. В момент поверхность коснется , и передний фронт волны пройдет через М. Наконец, при где D — наибольшее расстояние от М до точек поверхности , сфера будет опять находиться вне объем будет внутри , и формула (76) опять дает Моменту соответствует прохождение заднего фронта волны через точку после чего в этой точке обращается в нуль, а не в постоянную, как это было для струны (т. е. для плоской волны). Передний фронт волны в заданный момент t представляет собою поверхность, отделяющую точки, которые еще не начали колебаться, от точек, которые уже колеблются. Из предыдущего вытекает, что все точки этой поверхности имеют кратчайшее расстояние от , равное Нетрудно показать, что эта поверхность будет огибающей для семейства сфер, имеющих центры на поверхности и радиус Постоянная а является, как мы видим, скоростью распространения фронта волны.