ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

В классической теории вероятностей основным предметом изучения являются случайные величины, определяемые из некоторых наблюдений и принимающие различные значения в зависимости от каких-то неизвестных нам (или неконтролируемых) факторов. В последнее время, однако, очень большое практическое значение приобрели случаи, когда результаты наблюдений характеризуются функциями от одной или нескольких переменных, принимающими при многократном повторении этих наблюдений различные значения. Математический аппарат для описания подобных ситуаций доставляется теорией случайных функций, или, как чаще говорят (предполагая, что речь идет о функциях зависящих лишь от времени теорией случайных процессов, представляющей собой сравнительно молодую, но очень бурно развивающуюся ветвь теории вероятностей.

За последние годы советский читатель мог познакомиться с целым рядом специальных монографий, посвященных математической теории случайных процессов или ее техническим приложениям. Однако очень важный для практики вопрос о том, как можно по известным из наблюдений значениям функции на некотором временнбм интервале делать те или иные заключения о характеристиках соответствующего случайного процесса, в этих монографиях почти не затрагивался — обычно в них просто предполагалось, что все нужные для проводимого исследования характеристики рассматриваемых случайных процессов известны заранее. Такой подход к теории случайных процессов характерен также и почти для всей периодической литературы по этому предмету. Одним из немногих исключений в этом отношении является диссертационная работа известного шведского математика У. Гренандера, опубликованная еще окрдо девяти лет

назад в журнале «Arkiv f6r Matematik» и специально посвященная вопросу о получении статистических выводов по одной известной реализации процесса

Несмотря на значительный срок, прошедший со времени появления указанной работы, нам кажется, что она никак не потеряла своей актуальности. Цель работы Гренандера состоит в аккуратном перенесении на случайные процессы основных статистических понятий и методов, собранных, например, в хорошо известной нашим читателям книге Г. Крамера "Математические методы статистики". При этом обна руживается, что в некоторых случаях мы с самого начала сталкиваемся с весьма значительными трудностями, которые и по сей день остаются еще непреодоленными; кое-что, однако, удается перенести без особых усилий. Ясно, что знание создавшегося здесь положения дел совершенно необходимо для дальнейшего продвижения в области статистики случайных процессов; именно поэтому ссылки на работу Гренандера можно встретить почти во всех последующих статьях, в какой-либо мере затрагивающих вопросы из этой области (в частности, в очень большом числе работ технического содержания, посвященных обнаружению сигналов на фоне шума или оценке каких-либо параметров, характеризующих такие сигналы). К этому надо еще добавить, что стиль изложения Гренандера очень близок к стилю упоминавшейся выше книги Крамера и обладает значительной частью достоинств, отличающих эту книгу, — работа Гренандера написана методично и в то же время достаточно живо и содержит большое число удачно подобранных примеров, значительно увеличивающих ее ценность. Разумеется, читателю следует иметь в виду, что эта работа была написана для научного математического журнала и рассчитана она главным образом на читателей-математиков, хотя рассматриваемые в ней вопросы представляют большой интерес и для специалистов в смежных областях (например, в области радиофизики или радиотехники).

Перевод на русский язык сделан без каких-либо изме-. нений; лишь в некоторых местах мы добавили небольшие подстрочные примечания (авторские подстрочные примечания в работе отсутствуют). Учитывая, однако, большой срок, прошедший со времени опубликования работы, мы сочли необходимым снабдить перевод дополнениями, в которых

указаны некоторые результаты из области статистики случайных процессов, полученные за последние десять лет. Несмотря на большие пробелы, которые до сих пор имеются в решении многих важных вопросов из этой области, общее число появившихся за последние годы работ, имеющих отношение к содержанию статьи Гренандера, весьма велико, и наш обзор этих работ никак не претендует на исчерпывающую полноту. В частности, мы намеренно исключили из этого обзора почти все исследования, касающиеся случайных процессов от дискретного аргумента (учитывая, что и в работе Гренандера такие процессы фактически совсем не рассматриваются), а из работ, касающихся процессов от непрерывного аргумента, мы рассмотрели лишь те, которые, как нам кажется, наиболее непосредственно примыкают к содержанию настоящей книги. При написании дополнений существенную помощь переводчику оказали его коллеги Я. Гаек, И. В. Гирсанов, В. П. Леонов, М. С. Пинскер, В. Ф. Писаренко и А. В. Скороход, сообщившие ему свои новые результаты; до их опубликования некоторые ссылки на недавно появившиеся работы были присланы переводчику автором настоящей книги. Всем этим лицам переводчик выражает свою искреннюю признательность.

А.М. Яглом