5.8. Метрическая транзитивность — состоятельные оценки.

Выше мы рассматривали случай, когда в нашем распоряжении имеются независимых реализаций процесса. Как было показано, в этом случае с помощью метода максимума правдоподобия можно построить оценку, которая при стремящемся к бесконечности, оказывается состоятельной и асимптотически эффективной. В важном случае стационарного процесса можно, однако, надеяться, что с помощью метода максимума правдоподобия такую оценку удастся получить, используя только одну реализацию процесса длины но предполагая, что стремится к бесконечности. Это представляется весьма правдоподобным, так как при большом мы можем разбить интервал на большое число меньших интервалов разделенных другими интервалами занимающими пренебрежимо малую часть всего интервала но все же достаточно длинными для того, чтобы значения процесса на двух различных интервалах были практически независимыми. Ясно, однако, что при этом мы должны наложить некоторые условия, обеспечивающие асимптотическую независимость значений процесса в моменты времени, разделенные достаточно длинными промежутками. То, что такие условия действительно совершенно необходимы, можно показать на следующем простом примере.

Пусть уже использовавшийся нами несколько раз нормальный случайный процесс с нулевым средним значением и заданной корреляционной функцией

нормально распределенная случайная величина, не зависящая от всех значений Будем считать, что среднее значение величины х равно 0, а ее дисперсия равна Пусть мы наблюдаем значения процесса

где неизвестный вещественный параметр. Как было показано выше, оценка наибольшего правдоподобия значения имеет дисперсию

где корреляционная функция процесса т. е.

Отсюда немедленно следует, что

так что не может быть состоятельной оценкой при Этот результат, разумеется, определяется тем обстоятельством, что здесь наличие слагаемого в формуле для корреляционной функции приводит к тому, что корреляционная связь при больших значениях остается слишком сильной. Поэтому, для того чтобы гарантировать существование состоятельной оценки, следует наложить на процесс некоторые условия, исключающие возможность сохранения при больших слишком сильной корреляционной связи. Условием такого рода, которое мы и используем ниже, является условие метрической транзитивности (см. § 1.4).

Для того чтобы не задерживаться на несущественных трудностях, рассмотрим простейший случай, с которым мы имели дело в § 4.1: пусть имеются две различные простые гипотезы, отвечающие распределениям вероятностей и Раз» где Покажем, что из условия метрической транзитивности следует, что при стремящейся к бесконечности длине интервала наблюдения за процессом существует состоятельная оценка параметра а (или, точнее говоря, состоятельный критерий для сравнения наших двух гипотез). Рассмотрим

совокупность всевозможных конечномерных интервалов выборочного пространства число измерений). Если для всех

то наши распределения эквивалентны и никакой задачи не. возникает. В противоположном случае существует интервал такой, что

В § 5.14 мы покажем, что при наличии метрической транзитивности можно построить состоятельную оценку вероятности Пусть теперь вещественная функция, такая, что

Тогда и будет состоятельной оценкой параметра