1.4. Случайные процессы как семейства вещественных функций.
Намеченный в § 1.3 метод исходит из рассмотрения случайного процесса как кривой в некотором абстрактном пространстве. При исследовании процесса с помощью этого метода обычно учитываются лишь метрические свойства указанной кривой, а конкретный смысл её отдельных точек оставляется без внимания. Такой подход оказался весьма успешным при решении большого числа задач (в первую очередь всевозможных линейных задач),
но в некоторых случаях он оказывается недостаточным. Так, в частности, обстоит дело тогда, когда нас интересуют свойства отдельных реализаций, например их измеримость или непрерывность. В тех случаях, когда нас интересуют выводы статистического характера, естественно, что мы должны стремиться использовать все имеющиеся в нашем распоряжении сведения о процессе, а не одни лишь сведения о его линейных свойствах. По этой причине мы будем в дальнейшем чаще всего интерпретировать понятие "случайного процесса в смысле, принятом в ряде статей Дуба [1,3, 4].
Пусть
конечное число точек из
вещественные числа.
В таком случае множество
называется конечномерным интервалом в
, где
— множество всех вещественных функций на
Предположим теперь, что нам заданы согласованные между собой вероятности всех конечномерных интервалов. В соответствии с теоремой Колмогорова [1] мы можем тогда распространить эту вероятностную меру на борелевское поле, порожденное всеми конечномерными интервалами. Получаемую при этом меру, которую мы будем обозначать через
удобно считать замкнутой в смысле, объясненном в § 1.1.
Для того чтобы иметь возможность рассматривать вероятность множеств, существенно зависящих от значений процесса в несчетном числе точек, например множества всех непрерывных (или всех ограниченных) реализаций, Дуб рассуждал следующим образом. Пусть
— подмножество
, такое, что
Если
где
измеримо относительно меры
то мы полагаем
Можно показать, что таким образом мы приходим к однозначно определенной мере. Смысл перехода от
к
заключается в том, что мы ограничиваемся рассмотрением суженного выборочного пространства
, состоящего из одних лишь функций, обладающих некоторыми определенными свойствами.
Если существует подмножество
такое, что все функции
при со
измеримы относительно меры на
определяемой обычным образом как произведение мер на
и на
то процесс
мы будем называть D-измеримым. Во всех случаях, которые мы будем рассматривать, наши процессы будут непрерывны в среднем. Если
—конечный интервал
то в силу неравенства Шварца
так что, согласно теореме Фубини, процесс
здесь будет с вероятностью единица измеримым в смысле Лебега и интегрируемым. При этом
будет измеримой функцией
на
, т. е. случайной величиной. Эту случайную величину мы будем называть D-интегралом процесса по интервалу
Если
произвольная функция на 2 с интегрируемым квадратом, то с помощью теоремы Фубини можно показать, что
Отсюда вытекает, что для непрерывных в среднем процессов D-интеграл совпадает с С-интегралом и с
-интегралом. Можно показать, что это совпадение на самом деле имеет место и при значительно более общих условиях.
Существуют некоторые критерии, позволяющие судить, является ли данный процесс D-измеримым или нет. Укажем здесь один из них, принадлежащий Колмогорову (Эмброз
Для того чтобы процесс
был D-измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
и почти каждого
соотношение
имело место при
стремящемся к нулю по множеству, которое может зависеть от
но не от
и должно иметь метрическую плотность 1 в точке
Это условие всегда выполняется, если, например, процесс
непрерывен в среднем.
В дальнейшем нам потребуется еще следующий результат в том же направлении: если на 2 задать меру
отвечающую нормально распределенному однородному во времени процессу с независимыми приращениями:
множество всех непрерывных функций, то
является выборочным пространством измеримого процесса (Дуб [1]).
Если
нормальный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией
(т. е., иными словами, процесс, рассмотренный в § 1.3 в связи с уравнением Ланжевена), то, следуя Дубу [4], можно произвести преобразование:
При этом
оказывается процессом того типа, который рассматривался в предыдущем абзаце, откуда вытекает, что и сам процесс
является здесь измеримым процессом с выборочным пространством
Введем теперь оператор сдвига
следующим образом действующий на отдельные функции
выборочного пространства:
Если для всех множеств
и всех вещественных
имеет место равенство
то процесс
называется стационарным в узком смысле. Пусть, кроме того, этот процесс является D-измеримым. Если функция
интегрируема на 2, то, согласно эргодической теореме Биркгофа, предел
будет существовать с вероятностью 1. При этом
будет измеримой функцией, интегрируемой по
(см., например, Хопф,
Если для каждой интегрируемой функции
функция
с вероятностью 1 оказывается постоянной, то процесс
называется эргодическим.
Измеримое множество А называется инвариантным относительно операторов сдвига, если
при всех
Процесс
называется метрически транзитивным, если каждое отвечающее ему инвариантное множество имеет или вероятность 0, или вероятность 1. Можно показать, что в силу конечности меры выборочного пространства понятия эргодичности и метрической транзитивности оказываются эквивалентными (см. Хопф [1]).
Существует еще третий подход к понятию случайного процесса, при котором он рассматривается как функция
от двух переменных
и причем в пространстве
задана некоторая вероятностная мера. Дуб и Эмброз показали, что по существу этот подход не отличается от того, который выше был связан с именем Дуба. В частных вопросах один из указанных подходов может оказаться более удобным, чем другой; однако вопрос о том, какой именно из них в данном случае является наиболее подходящим, приходится каждый раз решать особо.