1.4. Случайные процессы как семейства вещественных функций.

Намеченный в § 1.3 метод исходит из рассмотрения случайного процесса как кривой в некотором абстрактном пространстве. При исследовании процесса с помощью этого метода обычно учитываются лишь метрические свойства указанной кривой, а конкретный смысл её отдельных точек оставляется без внимания. Такой подход оказался весьма успешным при решении большого числа задач (в первую очередь всевозможных линейных задач),

но в некоторых случаях он оказывается недостаточным. Так, в частности, обстоит дело тогда, когда нас интересуют свойства отдельных реализаций, например их измеримость или непрерывность. В тех случаях, когда нас интересуют выводы статистического характера, естественно, что мы должны стремиться использовать все имеющиеся в нашем распоряжении сведения о процессе, а не одни лишь сведения о его линейных свойствах. По этой причине мы будем в дальнейшем чаще всего интерпретировать понятие "случайного процесса в смысле, принятом в ряде статей Дуба [1,3, 4].

Пусть конечное число точек из вещественные числа.

В таком случае множество

называется конечномерным интервалом в , где — множество всех вещественных функций на Предположим теперь, что нам заданы согласованные между собой вероятности всех конечномерных интервалов. В соответствии с теоремой Колмогорова [1] мы можем тогда распространить эту вероятностную меру на борелевское поле, порожденное всеми конечномерными интервалами. Получаемую при этом меру, которую мы будем обозначать через удобно считать замкнутой в смысле, объясненном в § 1.1.

Для того чтобы иметь возможность рассматривать вероятность множеств, существенно зависящих от значений процесса в несчетном числе точек, например множества всех непрерывных (или всех ограниченных) реализаций, Дуб рассуждал следующим образом. Пусть — подмножество , такое, что Если где измеримо относительно меры то мы полагаем Можно показать, что таким образом мы приходим к однозначно определенной мере. Смысл перехода от к заключается в том, что мы ограничиваемся рассмотрением суженного выборочного пространства , состоящего из одних лишь функций, обладающих некоторыми определенными свойствами.

Если существует подмножество такое, что все функции при со измеримы относительно меры на определяемой обычным образом как произведение мер на и на то процесс мы будем называть D-измеримым. Во всех случаях, которые мы будем рассматривать, наши процессы будут непрерывны в среднем. Если —конечный интервал то в силу неравенства Шварца

так что, согласно теореме Фубини, процесс здесь будет с вероятностью единица измеримым в смысле Лебега и интегрируемым. При этом будет измеримой функцией на , т. е. случайной величиной. Эту случайную величину мы будем называть D-интегралом процесса по интервалу Если произвольная функция на 2 с интегрируемым квадратом, то с помощью теоремы Фубини можно показать, что

Отсюда вытекает, что для непрерывных в среднем процессов D-интеграл совпадает с С-интегралом и с -интегралом. Можно показать, что это совпадение на самом деле имеет место и при значительно более общих условиях.

Существуют некоторые критерии, позволяющие судить, является ли данный процесс D-измеримым или нет. Укажем здесь один из них, принадлежащий Колмогорову (Эмброз Для того чтобы процесс был D-измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого и почти каждого соотношение

имело место при стремящемся к нулю по множеству, которое может зависеть от но не от и должно иметь метрическую плотность 1 в точке Это условие всегда выполняется, если, например, процесс непрерывен в среднем.

В дальнейшем нам потребуется еще следующий результат в том же направлении: если на 2 задать меру отвечающую нормально распределенному однородному во времени процессу с независимыми приращениями:

множество всех непрерывных функций, то является выборочным пространством измеримого процесса (Дуб [1]).

Если нормальный процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией (т. е., иными словами, процесс, рассмотренный в § 1.3 в связи с уравнением Ланжевена), то, следуя Дубу [4], можно произвести преобразование:

При этом оказывается процессом того типа, который рассматривался в предыдущем абзаце, откуда вытекает, что и сам процесс является здесь измеримым процессом с выборочным пространством

Введем теперь оператор сдвига следующим образом действующий на отдельные функции выборочного пространства:

Если для всех множеств и всех вещественных имеет место равенство то процесс называется стационарным в узком смысле. Пусть, кроме того, этот процесс является D-измеримым. Если функция интегрируема на 2, то, согласно эргодической теореме Биркгофа, предел

будет существовать с вероятностью 1. При этом будет измеримой функцией, интегрируемой по (см., например, Хопф,

Если для каждой интегрируемой функции функция с вероятностью 1 оказывается постоянной, то процесс называется эргодическим.

Измеримое множество А называется инвариантным относительно операторов сдвига, если при всех Процесс называется метрически транзитивным, если каждое отвечающее ему инвариантное множество имеет или вероятность 0, или вероятность 1. Можно показать, что в силу конечности меры выборочного пространства понятия эргодичности и метрической транзитивности оказываются эквивалентными (см. Хопф [1]).

Существует еще третий подход к понятию случайного процесса, при котором он рассматривается как функция от двух переменных и причем в пространстве задана некоторая вероятностная мера. Дуб и Эмброз показали, что по существу этот подход не отличается от того, который выше был связан с именем Дуба. В частных вопросах один из указанных подходов может оказаться более удобным, чем другой; однако вопрос о том, какой именно из них в данном случае является наиболее подходящим, приходится каждый раз решать особо.