5.14. Оценка функций.

До сих пор мы почти все время рассматривали случай, когда распределение вероятностей для известно с точностью до некоторого неизвестного нам вещественного параметра а. Исключением являлись задачи, рассмотренные в § 5.2-5.5, где предполагалось, что относительно распределений вероятностей для процесса ничего не известно, кроме соответствующей корреляционной функции. Еще один тип задач возникает в случаях, когда распределения вероятностей для процесса зависят от неизвестной нам функции и требуется оценить эту функцию по имеющимся из наблюдений за процессом данным. Ниже мы рассмотрим два примера таких задач.

Пусть вещественный, стационарный, нормальный и D-измеримый процесс с нулевым средним значением и корреляционной функцией которую мы, как всегда, предполагаем непрерывной. Пусть нам требуется оценить функцию по наблюденной на интервале реализации процесса. В случае, когда процесс является метрически транзитивным (т. е. когда его спектральная функция непрерывна), можно дать состоятельную оценку Известно (Хопф [1], стр. 168—169), что почти наверное при всех значениях

Так как наш процесс является вещественным, то его корреляционная функция четная и, следовательно, достаточно

рассмотреть лишь случай Но

где правая часть при почти наверное стремится к нулю при всех Отсюда вытекает, что выражение

которое зависит только от наблюденных на интервале Тзначений процесса, будет состоятельной оценкой

В качестве второго примера рассмотрим процесс который снова предполагается стационарным, D-интегрируемым и метрически транзитивным. Поставим задачу о нахождении оценки функции распределения

В этом случае мы введем в рассмотрение вспомогательный случайный процесс

(ясно, что при любом фиксированном значении наше будет случайной величиной). Функция является измеримой и интегрируемой на пространстве где —произвольный конечный интервал временной оси. Следовательно, с вероятностью 1

равно промежутку времени из интервала , в течение которого Обозначим

(мера существует в силу теоремы Фубини); в таком случае

Пусть некоторая последовательность вещественных чисел, всюду плотная на вещественной оси. Так как эта последовательность счетная, то почти наверное

для всех Но является неубывающей функцией а. Если а — точка непрерывности и то

откуда следует, что почти наверное

во всех точках непрерывности Таким образом, является состоятельной оценкой Аналогично строится состоятельная оценка и для любых конечномерных функций распределения процесса.

Легко видеть, что в нашем втором примере оценка является несмещенной, а в первом она может быть сделана несмещенной простым умножением на множитель Представляется желательным определить для подобных случаев какое-либо понятие типа эффективности и исследовать с его помощью свойства введенных оценок.

Прежде чем оставить теорию оценок, заметим еще, что понятие доверительной области может быть перенесено из классической теории в теорию оценок для случайных процессов без всяких изменений.