6.4. Области прогноза.

В некоторых случаях бывает желательно указать не одну точку, а целую область, относительно которой следует ожидать, что значения процесса в некоторые будущие моменты времени окажутся принадлежащими этой области. Такая постановка вопроса совершенно аналогична использованию доверительных областей в задаче о построении оценок (см. § 2.3).

Предположим, что мы наблюдали за некоторым процессом в течение интервала времени наблюденную реализацию обозначим через Нам требуется определить область те (зависящую от в пространстве всех реализаций нашего процесса на интервале такую, чтобы у нас были основания ожидать, что на самом деле окажется принадлежащей области те (т. е. чтобы условная вероятность оказалась достаточно большой). Для того, чтобы обосновано выбрать одну из возможных областей в мы введем в 2 меру такую, чтобы все оказалось суммой не более чем счетного числа множеств конечной -меры. При фиксированном можно определить условную вероятностную меру

являющуюся с вероятностью 1 распределением вероятностей. Согласно теореме Лебега о разложении аддитивных функций множеств, мы получим

где сингулярная часть нашего условного распределения. Нам желательно найти множество фиксированной меры для которого принимает максимальное значение. Формально эта задача ничем не отличается от рассмотренной в § 4.1, и, применив полученное там решение, мы найдем

где постоянная подбирается так, чтобы мера имела заданное значение. Область называется при этом наилучшей областью прогноза относительно меры она получается с помощью простой модификации метода максимума правдоподобия.

Совершенно очевидно, что полученная таким образом наилучшая область прогноза будет зависеть от выбора меры Мы сейчас наметим два возможных пути выбора этой меры в случае марковского процесса.

Рассмотрим случай, когда стационарный, нормальный процесс Маркова с нулевым средним значением и единичной дисперсией, наблюдаемый в целочисленные моменты времени Корреляционная функция здесь имеет вид

(мы опускаем рассмотрение тривиальных случаев, когда или Пусть

и пусть интервал состоит из единственной точки Так как наш процесс является марковским, то условное распределение вероятностей значения при известных зависит только от Примем в качестве меры меру Лебега на оси Сингулярная часть X здесь отсутствует и

Таким образом, наилучшая область прогноза здесь задается неравенствами

Если бы интервал содержал целый ряд точек (скажем, точки те же рассуждения привели бы нас к -мерному эллипсоиду в евклидовом пространстве, определяемом координатами Такая область прогноза мало удобна для приложений, поэтому целесообразно ограничиться рассмотрением -мерных интервалов

и попытаться выбрать из них тот, которому среди всех интервалов заданного лебегова объема отвечает наибольшая условная вероятность. Нетрудно показать, что плотность условного распределения вероятностей здесь равна

где

и

Таким образом, наша задача свелась к задаче нахождения -мерного интервала фиксированного объема, имеющего наибольшую вероятность относительно заданной функции плотности.

Другая возможность выбора состоит в том, что за принимается абсолютная (безусловная) вероятность в Рассмотрим снова процесс с дискретным временным параметром и предположим для простоты, что соответствующее распределение вероятностей относится к непрерывному типу. В таком случае, если то

откуда получается следующая наилучшая область прогноза относительно меры Р:

Таким образом, при заданном область получается при помощи отбора тех точек в для которых велика условная плотность распределения

Рассмотрим, в частности, тот же марковский процесс, о котором шла речь. Используя старые обозначения, мы будем иметь

и

Таким образом, здесь

Эта область отличается от наилучшей области прогноза относительно меры Лебега, в частности, тем, что она никак не ограничивает значений величин